ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Теоретическая механика Том 2 " Если кроме сил поля имеются еще и внешние силы, то работа, которую нужно затратить, чтобы переместить точку из Р-, в Р , должна быть добавлена в правой части равенства (9) мы видим, что сумма кинетической и потенциальной энергии увеличивается на величину, равную работе внешних сил (см. 18). [c.76] Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату абсолютной величины вектора, то выражение, стоящее в левой части формулы (14), представляет кинетическую энергию. Точно так же скалярное произведение JPSr представляет ( Статика , 63) работу, производимую силою JP на бесконечно малом перемещении 5г. [c.76] Конечно, аналогичная проверка применима и к сферическому маятнику. [c.77] Следовательно, величина силы обратно пропорциональна дл. Таким образом густота расположения эквипотенциальных линий, проведенных, как указано -выше, говорит о больших или меньших величинах силы. [c.78] проведенная от одной точки к другой таким образом, чтобы ее направление везде совпадало с направлением результируюи1ей силы, называется силовой линией. Силовые линии ортогональны (перпендикулярны) к эквипотенциальным линиям везде, где сила не обращается ни в нуль, ни в бесконечность. В случае поля тяготения Земли эквипотенциальные и силовые линии соответственно горизонтальны и вертикальны. В случае притяжения к центру это будут концентрические круги и радиальные прямые. [c.78] О Конечнс , в пространстве трех измерений мы имеем эквипотенциальную поверхность. Если попе создается распределением гравитационных масс, то употребляют также название. поверхность уровня. [c.78] Следовательно, положение равновесия характеризуется тем свойством, что потенциальная энергия стационарна для всех бесконечно малых перемещений. Точно так же это следует и непосредственно из 31 (1). [c.79] с другой стороны, тот или другой из коэфициентов а или о отрицателен, то решение соответствующего диференциального уравнения будет заключать в себе действительные показатели, как в 15, и как бы мало отклонение ни было, оно вообще будет стремиться увеличиваться до тех пор, пока разложение в ряд и соответствующее приближение не перестанет быть действительным. Такое положение равновесия называется, неустойчивым . [c.80] Формула (5) показывает, что оба коэфициента положительны в том или только в том случае, если значение U в любом положении, достаточно близком к положению равновесия, больше, чем в самом положении равновесия. Другими словами, потенциальная энергия в положении устойчивого равновесия имеет абсолютный м и н й га у м. Это свойство представляет необход 1Мое, и достаточное условие устойчивости с рассматриваемой точки зрения ). [c.80] Это можно доказать и другим путем, не прибегая к предыдущему анализу. [c.80] В самом деле, если U возрастает по всем направлениям, идущим из начала координат, то мы можем описать около О такой замкнутый контур, чтобы в -каждой точке его величина разности U— Uq имела определенное положительное значение Е. Если материальная точка начинает двигаться где-либо внутри области, ограниченной таким образом, с полною энергиею, меньшею, чем Uq- -E, то ее последующая траектория будет все время оставаться внутри этой области. В самом деле, если бы точка достигла границы этой области, то ее потенциальная энергия была бы Uq- -E, и, следовательно, ее полная энергия превзошла бы Uq- E, что противоречит предположению ). [c.80] Доказательство необходимости условия обращения потенциальной энергии в минимум для того, чтобы материальная точка оставалась вблизи начала координат, не является таким простым. Однако, если имеются незначительные силы сопротивления, возникающие при движении материальной точки ), то полная энергия точки будет непрерывно уменьшаться до тех пор, пока продолжается движение. Следовательно, если точка начинает двигаться без начальной скорости из такого положения, в котором потенциальная энергия меньше, чем Uq, то полная энергия, а тем более и потенциальная энергия, будет непрерывно уменьшаться. Вследствие этого точка должна все более и более удаляться от положения равновесия О, если только она не остановится в некотором новом положении равновесия. [c.80] Пример 1. Материальная точка притягивается несколькими центрами с сила ми, пропорциональными ее расстояниям. .. от этих центров. [c.81] Известно (.Статика, 74), что имеется только одно положение точки, пля которого величина этого выражения является стационарной, а именно, центр инерции G системы точек с массами, пропорциональными Ki, К ,. расположенных соответственно в 0 , Oj.и что и обращается в таком случае в минимум. [c.81] Пример 2. Материальная точка, на которую действует сила тяжести и которая может двигаться по гладкой поверхности любой формы, будет находиться в равновесии только в той точке, в которой касательная плоскость горизонтальна Если поверхность в непосредственной близости к этой точке расположена целиком выше этой плоскости, то положение равновесия будет устойчивым если же она расположена целиком ниже касательной плоскости, то положение равновесия булет неустойчивым. Если поверхность пересекает касательную плоскость, как в случае поверхности, имеющей вид седла, равновесие будет устойчивым для одних перемещений и неустойчивым для других и, следовательно, в целом будет неустойчивым. [c.81] Таким образом относительная траектория представляет круг, описываемый с постоянною скоростью в направлении, обратном тому, которому соответствует вращение с угловой скоростью ш, как это ясно и непосредственно. [c.84] Так как диференциальные уравнения линейные, то их решения можно складывать таким путем мы получим полное решение, так как оно будет заключать в себе четыре произвольных постоянных А , А , E , е . [c.84] Доказать, чго если PQ — хорда, проходящая через фокус, то средняя квадратичная величина кинетической энергии на пути PQ равна одной трети суммы значений кинетической энергии в точках Р и Q. [c.86] Объяснить в общих чертах влияние непрерывного действия сопротивления воздуха на форму траектории. [c.87] Эллиптическое гармоническое движение и т. п. [c.87] Вернуться к основной статье