ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ из "Элементы теории колебаний " Основы современной теории устойчивости были заложены великим ру ским математиком и механиком А.М. Ляпуновым (1857 -1918) в его знам нитой докторской диссертации [29], впервые опубликованной в 1892 До сих пор идеи этой работы питают исследователей и позволяют им п лучать весьма ценные новые результаты в области теории устойчивости теории колебаний. Наиболее существенные из них принадлежат отечес венным ученым. [c.26] Каждая такая точка - целая фазовая траектория, ибо состояние равн весия есть решение системы (1.1) при -оо / ч-оо. Без ущерба для общн сти примем, что = О, т.е. начало координат Х = О - состояние равн весия Устойчивость решения Х=0 будем понимать в смысле Ляпуно Сформулируем основные определения. [c.26] Этого всегда можно добиться переходом к новым координатам у = X - х , где л состояние равновесия системы (1.1). [c.26] Если же упомянутое выше число 5 указать невозможно, то решение Х = О неустойчиво. [c.27] Нормы (1.5) и (1.6) эквивалентны различие заключается лишь в несущественных деталях геометрической интерпретации равенство ЦхЦ = С определяет поверхность й-мерного куба с длиной ребра 2с и с гранями, параллельными осям координат, а равенство х 2 = с определяет И-мерную сферу с центром в точке Х = О и радиусом, равным С. [c.27] Для пракгики важно не только установить факт асимптотической тойчивости положения равновесия, но и оценить ту область началь возмущений, при которых справедливо предельное соотношение (1 По этой причине вводят понятия асимптотической устойчивости в бо шом и в целом. [c.28] Определение 1.3. Состояние равновесия х = О системы ( называется асимптотически устойчивым в большом (в области G), е оно устойчиво и условие (1.7) выполняется при любых начальных сост ниях х(/р) из области G. [c.28] Основная особенность этого (и следующего) определения - указа конкретной области допустимых начальных возмущений - области G. область называется областью притяжения точки х=0 или областью ас птотической устойчивости в фазовом пространстве системы (1.1). [c.28] Определение 1.4. Состояние равновесия х = О системы ( называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчив условие (1.7) выполняется при любых начальных возмущениях, как велики они ни были (область G - все фазовое пространство). [c.28] Последнее определение весьма полезно в тех случаях, когда в исследуемой системе начальные возмущения могут оказаться большими и (или) их трудно либо нецелесообразно заранее оценить. [c.29] Основными подходами к исследованию устойчивости являются 1) второй, или прямой, метод Ляпунова 2) теория устойчивости по первому приближению 3) частотная теория абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем. Первые два подхода, наиболее общие и распространенные в прикладных задачах, излагаются ниже применительно к автономным сосредоточенным системам. Частотные критерии абсолютной устойчивости подробно изложены в литературе по теории автоматического регулирования, в частности в монографиях [7,14]. [c.29] Наиболее универсальным методом исследования устойчивости был и остается второй метод Ляпунова. Кроме того, он находит применение и для других задач динамики (для доказательства ограниченности решений, отыскания периодических режимов и др.). Дадим краткое изложение этого метода для автономных динамических систем. [c.29] Пусть система (1.1) допускает нулевое решение ДО) = О и в области х]1 Н, Н = onst О, подчиняется теореме Коши о существовании и единственности решений. [c.29] Определение 1.5. Функция V, обладающая свойствами 1, 2, 3, называется знакоопределенной в области (1.8) (положительно определенной или отрицательно определенной), если она в области (1.8) принимает значения только одного знака и обращается в нуль только в начале координат. [c.29] Определение 1.6. Функция V, обладающая свойствами 1, 2, 3, называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), есл она в области (1.8) принимает значения только одного знака, но обращается в нуль и при Х О. [c.29] Пример знакопеременной функции у(х ,Х ,= X - Х - Х . [c.30] Вернуться к основной статье