ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Равновесие системы материальных точек Принцип возможных перемещений. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия из "Теоретическая механика " Отыскание первых интегралов движения системы позволяет либо понизить порядок системы дифференциальных уравнений, либо вообще найти ее общее решение. 1 к правило, первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода выражают законы сохранения таких характеристик системы, как количество движения, момент количеств движения, энергия системы. [c.102] В этом случае согласно уравнениям (9.12) количество. . [c.102] Первый интеграл (10.2) называется обобщенным интегралом энергии, или интегралом Якоби. [c.102] Заметим, что условие 3 означает равенство нулю элементарной работы активных сил на возможных перемещениях, порождаемых группой (для этого достаточно умножить условие 3° на вариацию 5а). [c.104] Механический смысл этого интеграла — закон сохранения количества движения системы вдоль оси Ох. Этот результат можно было бы также получить из теоремы об изменении количества движения (см. 4.8). [c.104] В качестве обобщенных координат выберем координаты центра масс системы (х , Ус) и угол ф (см. рис. 30). Поставим задачу найти движение системы и реакцию связи (силу натяжения нити). [c.107] Другими словами, нить в процессе движения натянута с постоянной силой, равной Х . [c.108] ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. -. . ... [c.108] Уравнения (12.3) означают, что в положении равновесия обобщенные силы равны нулю В случае консервативных сил, когда и= и ф, положения равновесия согласно (12.4) суть стационарные точки силовой функции. [c.109] Необходимым и достаточным условием того, чтобы система, на которую наложены идеальные голономные стационарные связи, находилась в равновесии при ч = Оо, является равенство нулю работы активных сил на любых возможных перемещениях. [c.109] Равенство (12.5) можно переписать в исходных декартовых координатах в виде ,. [c.109] В положении равновесия х = = О и О, = 63, = О- Отсюда следует, что имеется единственное положение равновесия дс= =0. [c.110] Предположим, что всякое решение уравнений Лагранжа второго рода существует при любом г 0. Не нарушая общности, можно считать, что положению равновесия системы соответствуют нулевые значения координат 1 = 2 = = 9 = 0. [c.110] Величины Х ,. .., х называются коэффициентами устойчивости Пуанкаре, и устойчивость имеет место, если все они положительны. [c.112] Вернуться к основной статье