ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Пуанкаре. Случай свободных колебаний автономных квазилинейных систем из "Теория колебаний " Принимая во внимание эти замечания, изложим теорему Пуанкаре для автономных систем следующим образом. [c.532] С такого рода затруднениями встретились астрономы XVIII в., когда пытались, решая при помощи рядов дифференциальные уравнения движения планет, получить периодические выражения для координат планеты. Тогда же в связи с этим были предложены некоторые специальные способы освобождения решений от вековых членов. Наиболее известные работы в этом направлении принадлежат П. Лапласу и Ж. Лагранжу. Однако способы, предложенные этими учеными, хотя и приводят в конце концов к цели, весьма сложны и связаны с громоздкими выкладками. [c.534] Первое простое решение задачи о построении периодических решений автономных систем дал М. В. Остроградский. Учитывая, что нелинейность в автономных системах влияет на период, М. В. Остроградский предложил строить одновременно два разложения по степеням параметра ц искомой функции x(t) и ее периода Т(1 + а). Прием, предложенный М. В. Остроградским, был развит и обобщен А. М. Ляпуновым, распространившим его на системы с п степенями свободы и установившим условия сходимости получаемых при этом рядов. Существенные упрощения метода сделаны А. Н. Крыловым [103]. [c.534] Сущность приема Ляпунова заключается в преобразовании уравнений автономной системы к собственному времени, в котором единицей времени является искомый период колебаний системы, который оказывается, таким образом, заранее известным, что позволяет оперировать с автономными системами так же, как и с неавтономными. [c.534] Такое представление искомого периода Г(1 + а) дает возможность надлежащим выбором значений коэффициентов выполнять условия периодичности для функций на каждом этапе их определения. [c.535] Это одно из важнейших по своим приложениям квазилинейное уравнение, которому посвящено большое число исследований. Общая теория периодических решений этого уравнения разработана А. А. Андроновым и А. А. Виттом [87]. Уравнением такого же типа является уже встречавшееся нам уравнение Ван-дер-По-ля, имеющее важные приложения в радиотехнике. [c.535] Сравнив коэффициенты при одинаковых степенях ц в левой правой частях последнего уравнения, получим рекуррентный дифференциальные уравнения для ф, Ф1, фз,. .. [c.536] Так как ф(т) является периодической функцией, всегда пай дется такой момент времени Tj, когда ф обратится в нуль. Это момент можно принять за начальный, положив = О, так как пе ремена начала отсчета времени, как было отмечено выше, в авто номных системах ничего не меняет ни в самом решении, ни в ег( построении. [c.536] Вернуться к основной статье