ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость предельных циклов из "Теория колебаний " Условие (12.19) можно иначе истолковать как условие, при котором скорость точки q и приложенная к ней сила сопротивления Q во все время движения направлены в противоположные стороны. [c.491] И являющийся разновидностью метода изоклин. К виду уравне ния (12.21) могут быть приведены многие нелинейные системы причем не только диссипативные. [c.492] Здесь ф(у) = О, кривая х = -ф(у) совпадает с осью Оу и, следовательно, точка С в построении Льенара будет для всех точек А фазовой плоскости лежать в начале координат. Направления фазовых траекторий будут перпендикулярны прямым, проходящим через начало координат. Следовательно, фазовыми траекториями будут окружности, описанные из О различными радиусами. [c.493] Пример 3. Другим примером, в котором способ Льенара дает возможность строить фазовые траектории в целом, является система с кулоновым трением, которую мы и рассмотрим в качестве первого примера существенно нелинейной диссипативной системы. [c.493] Это будут окружности, описанные из начала О всевозможными радиусами. Затем, разрезав рисунок вдоль оси Ох, сдвигаем верхнюю часть влево на , а нижнюю вправо тоже на В. После этого остается, как говорят, сшить траектории верхней полуплоскости с соответствующими траекториями нижней так, чтобы левый конец каждой нижней траектории (кроме концов, попавших на отрезок -В, +В)) сделался началом некоторой верхней, а правый конец верхней — началом соответствующей нижней траектории. В результате такого сшивания мы получим то же расположение фазовых траекторий, что и на рис. 125. [c.495] Когда левый конец нижней полуокружности или правый конец верхней полуокружности оказывается на отрезке ЗзЙ , дальнейшее движение изображающей точки прекращается, так как на отрезке восстанавливгиощая сила меньше силы трения В и, попав на этот отрезок в какой-либо точке А (со скоростью, равной нулю), масса т и изображающая ее точка останутся в ней в покое. Отрезок 828 называется полосой или областью застоя. [c.495] За каждый размах отклонение массы от начала уменьшается на 2 и если а — начальное отклонение (например, справа) при равной нулю начальной скорости, то число размахов, которое совершит масса, прежде чем попадет в полосу застоя, будет равно целой части отношения а/2В. [c.495] Пример 4. Рассмотрим теперь систему с кулоновым и вязким трением. [c.495] Верхний знак, плюс, соответствует движению массы т справа налево (л 0), нижний, минус, — движению слева направо (зс О). [c.495] Попав на этот отрезок, масса т дальнейшее движение прекращает. Отрезок (-В, +В) представляет таким образом область застоя. [c.495] Изображение движения на фазовой плоскости можно построить следую, щим образом. [c.496] Таким образом, движение слева направо происходит по тому же закону затухающих линейных колебаний, что и движение справа налево, но это будут колебания около среднего положения, смещенного относительно начала координат влево на В. [c.496] Здесь 5 в два раза меньше декремента 8 в формуле (2.18) на с. 74. [c.496] Термин автоколебания впервые введен А. А. Андроновым в ст. [86]. [c.498] Принимая во внимание сделанные замечания, можно следующим образом определить автоколебательную систему, имея в виду главным образом ее конструктивную схему. [c.499] Автоколебательной системой называется неконсервативная система, способная совершать незатухающие периодические колебания и характеризующаяся наличием следующих основных составных частей 1) постоянного источника энергии 2) колебательной системы 3) устройства, регулирующего поступления энергии в колебательную систему из источника энергии 4) обратной связи между колебательной системой и регулирующим устройством. [c.499] Не всегда, однако, можно легко распознать автоколебательную систему по наличию в ней указанных частей. Механизм обратной связи иногда совсем не очевиден, так как во многих случаях обратная связь действует по скрытым путям, обнаружить которые не всегда удается. [c.499] Некоторое представление таких изменений дает диаграмма энергетического баланса (рис. 128), на которой представлен ход изменений в зависимости от отклонений энергии Е, поступающей в систему, и энергии В, расходуемой на преодоление сопротивлений. Самовозбуждающаяся система на участке Оа получает энергии больше, чем расходует, и поэтому раскачивается. На участке аЪ, наоборот, расход энергии превышает поступление и колебания начинают затухать. В точке А расход и поступление энергии балансируются, и система в состоянии, изображаемом точкой А, совершает устойчивые колебания. При небольших возмущениях система, предоставленная затем самой себе, возвращается снова в состояние А или от увеличения притока энергии (при отклонении влево), или от увеличения расхода и торможения (при отклонении вправо). [c.500] В точке В поступление и расход энергии снова балансируются. В этом состоянии система теоретически могла бы совершать незатухающие колебания, но эти колебания оказываются неустойчивыми и в действительности не осуществляются. Таким образом, в некоторой области рассматриваемая система стремится к устойчивому колебательному режиму независимо от начальных условий. [c.500] С аналогичным явлением мы встречаемся в некоторых нелинейных системах с сухим (кулоновым) трением. Такой системой будет, например, ленточный тормоз, схема которого представлена на рис. 129. Ползун, прикрепленный к неподвижной точке с помощью пружины с, лежит на шероховатой бесконечной ленте, движущейся со скоростью в сторону, показанную стрелкой. [c.500] Вернуться к основной статье