ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формулы прямой линеаризации из "Теория колебаний " Следует отметить, что малые свободные колебания консервативной линейной системы на фазовой плоскости изображаются также континуумом замкнутых траекторий, окружающих точку устойчивого равновесного положения системы. Амплитуды колебаний линейных систем, так же как и нелинейных консервативных, зависят от начальных условий, но период колебаний линейной системы есть постоянная, не зависящая от начальных условий и от начального запаса энергии системы, в чем можно убедиться, подставив в общую формулу (12.6) соответствующие значения П(л ) и h. [c.482] Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, изображаемых на фазовой плоскости замкнутыми траекториями, не один и тот же, а зависит от начальных условий, то две изображающие точки, начавшие свои движения, например от оси Оу, одновременно по двум близким траекториям, с течением времени отойдут одна от другой на конечное расстояние. Вследствие этого периодические движения консервативных систем нельзя, строго говоря, считать устойчивыми по Ляпунову. Но они обладают орбитальной устойчивостью, выражающейся л том, что при весьма малом изменении начальных условий возмущенное периодическое движение изображающей точки переходит на другую траекторию, сколь угодно близкую к первоначальной (невозмущенной). [c.482] Период полного колебания Т ползучим из формулы (12.6), положив в ней Л =- g/O os Xq, П(х) =-(g/O os x, a = -Xo, p = Xo. [c.483] Пример 2. Тяжелая точка движется по окружности, расположенной в вертикальной плоскости и вращающейся с угловой скоростью со вокруг вертикального диаметра (рис. 120). Такое движение точки можно трактовать как колебания математического маятника, ось подвеса которого вращается вокруг вертикальной оси со скоростью ю. [c.484] В точках а = О, 2л,. .. кривая энергетического баланса имеет изолированные минимумы, которым соответствуют устойчивые равновесные положения. [c.485] Фактически в данном с,иучае существуют два положения равновесия — одно устойчивое (я = 0) и одно неустойчивое (х = л). Остальные повторяют эти два. [c.486] Это — особые точки типа седла, изображающие неустойчивые положения равновесия в верхнем конце вертикального диаметра. [c.487] Удачным подбором весовой функции р х) можно иногда обеспечить довольно большую точность в определении частоты колебаний нелинейной системы (12.1) при постоянной амплитуде А. По крайней мере все предложенные для прямой линеаризации формулы могут быть получены из формулы (12.17) при надлежащим образом выбранной функции р х). [c.488] Формула Я. 3. Цьшкина дает, как правило, более точный результат, чем все другие приведенные выше формулы ). В этом можно убедиться, если, следуя А. Д. Мышкису [114], сравнить разложения периода колебаний, определяемого приведенными формулами, по степеням отклонения А с точным решением уравнения (12.1). [c.489] При разрывах жесткости f x) точность ухудшается. [c.489] Потери энергии в нелинейных диссипативных системах вызываются большей частью сухим (кулоновым) трением, иногда в сочетании с вязким, а также внутренним неупругим сопротивлением, которое возникает в материале частей системы, деформирующихся при колебаниях. Все эти сопротивления, как правило, нелинейны и не линеаризуемы. Расчет колебаний систем с такими сопротивлениями представляет существенно нелинейную задачу, которая не может быть решена методами линейной теории. [c.490] Рассмотрим некоторые простейшие диссипативные системы с одной степенью свободы, качественное исследование которых можно выполнить методом фазовой плоскости. [c.490] Наиболее характерным признаком диссипативных систем является, как уже было указано, некомпенсируемое рассеяние энергии. По этому признаку диссипативные системы и распознаются среди других неконсервативных систем. Признаку диссипатив-ности системы можно дать различные выражения. [c.490] Ч Знак равенства только когда 9 = 0. [c.490] Вернуться к основной статье