ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные консервативные системы с одной степенью свободы из "Теория колебаний " Постоянная й определяется начальным отклонением и начальной скоростью, т. е. начальным запасом полной энергии. [c.474] Этим уравнением решаются полностью все вопросы о движении рассматриваемой нелинейной системы, и, в частности, вопрос о периодических решениях, их существовании и устойчивости. Тем не менее проведем исследование движений, определяемых уравнениями (12.1), (12.3) и (12.4), еще и методом фазовой плоскости по соображениям, изложенным выше. [c.475] Уравнение (12.4) не меняется при изменении знака у. Следовательно, фазовые траектории системы (12.3) симметричны относительно оси Ох. [c.475] Рассмотрим вид фазовых траекторий, соответствующих отдельным участкам кривой энергетического баланса. [c.476] Так как в этой точке П (ж) = f(x) О. [c.477] Точка А является особой точкой типа центра, изображающей устойчивое равновесное состояние системы. [c.478] Изложенное рассуждение является элементарным доказательством обратной теоремы о неустойчивости положения равновесия консервативной системы, когда в этом положении потенциальная энергия имеет изолированный максимум. Движение по усам неустойчиво и физически не осуществляется. [c.478] Как видно из рис. 118, особые точки типа центра и седла чередуются на оси абсцисс. Это чередование является простым следствием чередования максимумов и минимумов функции П(х). Далее, внутри замкнутой фазовой траектории всегда находится нечетное число особых точек, причем число центров на единицу больше числа седел. Пусть, например, на фазовой плоскости имеется одна замкнутая траектория, пересекающая ось Ох в точках а и р. В этих точках функция Л - П(х) обращается в нуль. Следовательно, между аир лежит по крайней мере одна точка (или нечетное число таких точек), в которой обращается в нуль П (х). Из геометрических соображений очевидно, что если внутри замкнутой кривой такая точка одна, то она обязательно будет центром, соответствующим изолированному минимуму потенциальной энергии. [c.481] Вернуться к основной статье