ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Система с одной степенью свободы из "Теория колебаний " Чтобы найти форму всех интегралов, не делая о ней никаких предварительных предположений, попытаемся привести уравнения (11.1) сначала к возможно более простому виду. Таким простейшим видом будет тот, в котором в каждое уравнение будет входить только одна переменная. Такую форму уравнений А. М. Ляпунов называл канонической формой. [c.426] Это уравнение называется характеристическим уравнением. [c.427] Приведение уравнения (11.1) к каноническому виду, когда корни характеристического уравнения кратны, весьма сложно. Ограничимся поэтому изложением окончательных результатов, отсылая за подробностями к специальным курсам, в частности к книге И. Г. Четаева [54]. [c.428] опуская индекс i. [c.430] Из рассмотрения формы интегралов (11.7) и (11.9) можно сделать следующие заключения об условиях устойчивости линеаризованной системы (11.1). [c.430] Его корни 2 = 2 л/З вещественны и отрицательны. Следовательно, невозмущенное движение х = у = 0 асимптотически устойчиво. [c.431] В примерах 1, 2, 3 имеется в виду устойчивость линеаризованных систем, получаемых из заданных путем отбрасывания нелинейных членов. [c.431] Уравнения (11.10), как об этом говорилось ранее, можно ие толковать как уравнения, определяющие проекции скорости изо бражающей систему точки, движущейся в фазовой плоскосл Оху. Невозмущенному движению л = у = О на этой плоскости со ответствует равновесное состояние изображающей точки в нача ле координат, так как х = у = О, когда х = у = 0. [c.432] Начало координат, изображающее равновесное состояние, ест особая точка фазовой траектории, так как здесь - Это един ственная особая точка уравнения (11.11) на плоскости Оху. [c.432] Координаты т , связанные с прямоугольными координатами X, у линейными соотношениями (11.12), будут, вообще говоря, косоугольными. Поэтому определяемые каноническими уравнениями (11.14) и (11.15) фазовые траектории построены далее в косоугольной системе координат. [c.433] Возможны четыре случая, каждому из которых будет соответствовать особый тип расположения фазовых траекторий около особой точки — начала координат, — изображающей невозму-щенное равновесное состояние системы. Этими типами расположения фазовых траекторий около начала и будет геометрически определяться характер устойчивости невозмущенного состояния линейной системы с одной степенью свободы. [c.433] Фазовые траектории будут кривыми, похожими у точки О на гиперболы (рис. 103), в которые они и обращаются, когда а = -1. Попав на одну из этих траекторий, изображающая точка будет в конце концов удаляться от начала, которое представит, таким образом, неустойчивое равновесное состояние. Особая точка такого типа называется седлом. [c.434] то изображающая точка будет двигаться к узлу, как показано стрелками на рисунках, и изображаемое началом координат равновесное состояние будет асимптотически устойчивым. Если О, 2 О, то имеет место неустойчивость. [c.435] Фазовые траектории — прямые, заканчивающиеся (рис. 106, а) или начинающиеся (рис. 106, б) в начале координат. Особая точка — устойчивый или неустойчивый узел. [c.436] Черточки над буквами обозначают здесь комплексно-сопряженные величины. [c.437] Фазовые траектории — окружности, описываемые изображающей точкой вокруг начала координат с угловой скоростью р. Особая точка в этом случае носит название центр. Равновесие, изображаемое особой точкой типа центра, является устойчивым. [c.439] Аппель [62, 392]. Приведенный пример следует рассматривать только как аналогию некоторых траекторий полюса с фазовыми траекториями около особых точек центра и седла. Полодия — это, конечно, не фазовая траектория, и концы осей эллипсоида не особые точки фазовой плоскости. [c.439] Вернуться к основной статье