ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы из "Теория колебаний " Теорема Лагранжа — Д и р и х л е. I. Если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной системы имеет изолированный минимум, то равновесие в этом положении устойчиво. [c.397] Мы внесем как в формулировку теоремы, так и в ее доказательство некоторые изменения, не затрагивающие существа ее содержания, но лучше подчеркивающие ее непосредственную связь со вторым методом Ляпунова. Изменения будут заключаться в том, что мы будем рассматривать устойчивость равновесного состояния или покоя системы, предполагая, что в этом состоянии все обобщенные координаты и скорости системы равны нулю, и вести рассуждения, пользуясь представлением полной энергии в фазовом пространстве. [c.397] Теорема Лагранжа—Дирихле. II. Если в нуле вом положении энергия положения изображающей систеЩ точки имеет равный нулю изолированный минимум, то равновесие в этом положении устойчиво по Ляпунову. [c.398] Таким образом, существует область (е), в которой полная энергия системы — положительно-определенная функция координат, производная которой по времени тождественно равна нулю. Следовательно, рассматриваемое равновесное состояние устойчиво по Ляпунову. [c.399] Теорема. Равновесное состояние консервативной сиспи мы, определяемое нулевыми значениями координат, в которое потенциальная энергия системы не достигает минимума, щ устойчиво, если отсутствие минимума определяется уже чм нами второго порядка в разложении потенциальной энергии п степеням координат q . [c.400] Другая доказанная А. М. Ляпуновым теорема о неустойчивое ти равновесного состояния консервативной системы формула руется следующим образом. [c.400] Теорема. Равновесие консервативной системы неустойщ во, если в равновесном положении потенциальная энергия или ет максимум, причем этот максимум обусловлен членами наг низшего (но не обязательного второго) порядка в разложенщ потенциальной энергии по степеням q . [c.400] Четаев [54, гл. III] дал более простое доказательство ofi ратной теоремы, основанное на установленной им обобщенно теореме о неустойчивости движения. [c.400] Пусть а р . В положении = 2 = О полная энергия (10.15) имеет из( лированный минимум. Следовательно, нулевое положение или равновесна состояние системы устойчиво. [c.400] Ляпунов А. М. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, ко1Я функция сил не есть максимум, 1897. См. в кн. [30]. [c.400] Первому решению соответствует максимум V, равный Р е второму — минимум V, равный а е . [c.401] Чтобы изображающая точка в возмущенном движении оставалась внутри окружности (б), нужно начальные значения 10 20 выбрать внутри окружности некоторого радиуса Т1, на которой — нижняя граница V на (е) — была бы верхней границей (высшим пределом). [c.401] Вернуться к основной статье