ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О движении тела, притягиваемого к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний из "Аналитическая механика Том 2 " О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА, ПРИТЯГИВАЕМОГО К ДВУМ НЕПОДВИЖНЫМ ЦЕНТРАМ СИЛАМИ, ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ КВАДРАТАМ РАССТОЯНИИ. [c.119] Предположим, что некоторое изолированное тело притягивается одновременно к двум неподвижным центрам силами, пропорциональными каким-либо функциям расстояний. [c.119] Если бы в то же время тело испытывало притяжение со стороны других центров, то в эти уравнения следовало бы лишь ввести аналогичные члены для каждого из этих центров. [c.120] Теперь ясно, что уравнение 5 = 1 или г + q = i представляет эллипс, оба фокуса которого находятся в неподвижных центрах и большая ось которого равна 1. [c.128] Точно так же уравнение м = g или r — q = g выражает гиперболу, фокусы которой находятся в тех же центрах и действительная ось которой равна g. [c.129] Для того чтобы получить этот случай, определим постоянные В тл С таким образом, чтобы радиус был равен нулю, а другой радиус г был равен Л, т. е. расстоянию между обоими центрами следовательно, необходимо, чтобы переменные s = r- -q и ll = r — q одновременно стали равны й. Уравнения (е) пункта 81 очень подходят для этого определения. [c.130] Это выражение обладает тем преимуществом, что оно не содержит какого-либо иного элемента, кроме большой оси 2а. [c.131] Решенная нами выше задача была впервые разрешена Эйлером для случая, когда имеется лишь два неподвижных центра, притягивающих тело обратно пропорционально квадратам расстояний, и когда тело движется в плоскости, проходящей через оба центра (Memoires de Berlin за 1760 г.) его решение особенно интересно благодаря искусству, с каким он сумел применить различные подстановки для того, чтобы привести к первому порядку и к квадратурам дифференциальные уравнения, которые, в силу своей сложности, не поддавались разрешению с помощью всех других известных методов. [c.133] Придав этим уравнениям иной вид, я прямо пришел к тем же результатам, причем я их смог даже распространить на тот случай, когда кривая не лежит в той же плоскости и когда, сверх того, имеется сила, пропорциональная расстоянию, направленная к неподвижному центру, лежащему посредине между двумя другими центрами. См. четвертый том старых Memoires de Turin ), откуда заимствован приведенный выше анализ и где можно также найти исследование того случая, когда один из центров удаляется в бесконечность, так что сила, направленная к этому центру, становится равномерной и действует по параллельным линиям. Интересно отметить, что в этом случае решение едва ли значительно упрощается но только радикалы, образующие знаменатели отделенных уравнений, вместо четвертых степеней переменных содер -жат лишь их третьи степени, что точно так же ставит их интегрирование в связь с выпрямлением конических сечений. [c.133] О ДВИЖЕНИИ ДВУХ или НЕСКОЛЬКИХ СВОБОДНЫХ ТЕЛ, ТЯГОТЕЮЩИХ ДРУГ К ДРУГУ, И о ДВИЖЕНИИ ПЛАНЕТ ВОКРУГ СОЛНЦА И О ВЕКОВЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ ИХ ЭЛЕМЕНТОВ. [c.134] Пусть (/, р .—расстояния тел т, т ,/те ,. .. от тела т и Н, В , В ,. .. — те функции этих расстояний, которым пропорциональны притяжения между этими телами. [c.134] —расстояния тел т ,/те ,. .. от тела т и В, , В, , . .. — функции этих расстояний, пропорциональные притяжениям. [c.134] Так как в рассматриваемой нами системе не имеется какой бы то ни было неподвижной точки, мы можем избрать начало координат где угодно, и, как мы видели в отделе III, в данном случае всегда имеется три конечных интеграла движения центра тяжести, равно как три первых интеграла площадей и, наконец, интеграл живых сил Г + К = //. [c.135] Указанным путем определяется абсолютное движение тел в пространстве но так как решение давной задачи важно лишь по отношению к планетам и так как в данном случае астрономию интересуют лишь движения планет по отношению к Солнцу, рассматриваемому как неподвижное тело, нам остается только посмотреть, каким образом общее уравнение абсолютных движений тел системы может быть применено к относительным движениям. [c.135] ЭТО последнее за начало доординат пусть точно так же с , 7] , С — прямоугольные координаты тела тп по отношению к тому жо телу т и так далее вопрос сводится к тому, чтобы найти общую формулу, содержащую лишь эти координаты. [c.136] Теперь, следовательно остается лишь подставить величину V и взять частные производные по различным переменным но эта подстановка может быть упрощена с помощью нижеследующего рассуждения. [c.138] Таким образом, в данном случае Т т V тождественны со значениями этих величин для одного тела, тяготеющего к неподвижному центру с силой (гп + тп )Е, пропорциональной некоторой функции расстояния р (п. 4). Стало быть, относительное движение тела т вокруг тела т тождественно с тем движением, какое получилось бы, если бы второе тело было неподвижно и притягивающая масса была равна сумме обеих масс это известно уже со времени Ньютона. [c.142] Мы ограничимся здесь лишь отысканием вековых возмущений этих элементов, которые являются наиболее важными и которые зависят лишь от первого, постоянного члена разложения О. [c.143] Величины я, р, я, . .. являются функциями элементов h, , к орбиты планеты т, заданной формулами пункта 13, в которых все буквы помечены одним штрихом, а величины я , Р , я ,. .. являются подобными же функциями элементов h , i , к орбиты планеты т , если буквы пометить двумя штрихами таким образом, величины А, В, А,, Bj являются функциями этих же элементов а что выражают эти величины, можно установить путем следующего рассуждения. [c.144] Вернуться к основной статье