ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенное решение уравнений колебаний ограниченных пьезоэлектрических пластин с использованием разложения в степенной ряд из "Пьезоэлектрические резонаторы на объемных и поверхностных акустических волнах " Для получения приближенного решения целесообразно в виде степеннб-го ряда выразить либо механическое смещение ц и электрическое смещение ), в соответствии с работами [32, 36] либо, согласно [37], механическое смещение Ы] и электрический потенциал р. В дальнейшем будем придерживаться первого варианта. [c.64] Тонкая пьезоэлектрическая пластина в прямоугольной системе координат, ограниченная в направлении оси Л и бесконечная в направлении осн Хг. [c.65] Чтобы применять на практике полученное решение, необходимо в каждом конкретном случае ограничиться определенным числом членов степенного ряда. Необходимо также указать, что система с ограниченным числом членов имеет однозначное решение, которое является ортогональным, см., например, работу [30]. В дальнейшем внимание будет уделено Использованию двумерного приближенного решения для пьезоэлектрических пластин с моноклинной симметрией. [c.67] Предположим, что пьезоэлектрическая пластина ориентирована в прямоугольной системе координат так, что ее толщина 2а имеет направление оси Хг. Кроме того, предположим, что пластина обладает моноклинной симметрией, ее упругопьезодиэлектрическая матрица представлена иа рис. 3.2. Как и в статье [32], прн разложении механического (и ) и электрического (А) ) смещений в степенной ряд ограничимся только членами нулевого и первого порядков (я 2) и предположим, что для п 1 справедливо и) = А) = 0. Тогда основные выражения, необходимые для получения уравнений, описывающих колебания пластины (при использовании сокращенного индексного обозначения), можно записать в следующем виде. [c.68] Здесь индексы X, ц принимают значения 1—6, индексы i, J— 1—3, индексы г, S — 1, 3, 5 и индексы и, w — 2, 4, 6 прн этом значения у соответствуют модулям упругости Фойгта. [c.69] При этом (3.30) являются уравнениями движения изгибных, сдвиговых по грани и по толщине связанных колебаний, а (3.31) — уравнениями крутильных по толщине и продольных связанных колебаний. Обе группы колебаний электрически связаны посредством уравнений (3.32). Выражения (3.33) представляют собой уравнения движения сдвиговых по грани и крутильных по толщине связанных колебаний, а (3.34) есть уравнения движения изгибных, продольных и сдвиговых по толщине связанных колебаний. Обе группы колебаний также электрически связаны посредством (3.35). [c.72] Если пренебречь пьезоэлектрическими свойствами пластины, то уравнения (3.32) и (3.35) можно не учитывать, и дифференциальные уравнения (3.28) распадаются иа четыре группы уравнений. Этот случай подробно описан в литературе, см., например, работу [38]. [c.73] Эти уравнения представлены как исходные уравнения движения в целом ряде работ (например, [38, 39, 40, 41, 42]), посвященных колебаниям кварцевых резонаторов /17 среза. [c.74] Указанное заключение следует и из рис. 3.4, на котором приведены дисперсионные кривые упомянутых двух типов колебаний. [c.75] При определении резонансной частоты пластины исходят из заданных размеров пластины (отношений I / а я Ь / а) и выбранного нормированного волнового числа р затем отыскивают такие значения нормированной частоты О, которые удовлетворяют одновременно уравнениям (3.42) и (3.50) или (3.51). Далее определяют круговую резонансную частоту ш, подставив полученные значения (2 в (3.40). [c.76] Сплошной, штриховой и пунктирной линиями показаны вычисленные зависимости относительных резонансных частот, кружками обозначены намеренные значения. Относительная частота О = 1 соответствует резонансной частоте основного сдвигового колебания по толщине бесконечной плоской пластины. [c.77] В работах [39, 40, 45] пьезоэлектрическим эффектом пренебрегали и предполагали одинаковые упругие свойства пластины в частях как покрытых, так и непокрытых металлом. Влияние пьезоэлектрического эффекта на исследуемую систему колебаний пластины учитывалось в работах [47, 48, 49]. [c.80] При этом для (3.66) и (3.67) справедливо 7Хс . 7)4. [c.82] Элементы Яц, аи, 16, 21, озь язз, вз5, 41, 44, озз, 34, 63, 064 даны в интервалах Пр выражениями (3.76). [c.85] Равенство (3.83) представляет собой частотное уравнение частично металлизированной прямоугольной пьезоэлектрической пластины, испытывающей сдвиговые по толщине, крутильные по толщине и изгибные связанные колебания. Из приведенного уравнения можно вычислить частотный спектр указанных колебаний пластины. В работах [48, 49] частотное уравнение было использовано для определения влияния электродов на частотный спектр кварцевых резонаторов 17 среза. С помощью аналогичного уравнения частот и приведенных выше выражений было рассчитано механическое смещение в отдельных точках пластины и таким образом определен вид колебаний [40]. [c.85] Рассматриваемое ограничение пластины и электродов только в одном направлении, как показывает практика, явно недостаточно, поэтому появилось стремление учитывать ограничение размеров пластины и электродов и во втором направлении. Были независимо опубликованы две работы с приближенным решением [42, 50], о которых кратко будет сказано ниже. [c.85] Он предполагал, что смещение и поворот есть синусоидальные функщ1и времени и что uf и можно заменить выражениями -и - где wSP и ы не зависят от времени, а ш — круговая частота. [c.86] Для т = Пз = 0 уравнение (3.98) определяет собственную частоту резонатора. Если п О или Пз О либо они одновременно не равны нулю, то (3.98) выражает резонансную частоту соответствующих ангармонических колебаний. Из приведенных выражений аналогично [51] можно определить оптимальные размеры резонатора, при которых ангармонические колебания будут максимально подавлены. [c.88] Вернуться к основной статье