ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи о равновесии при наличии дополнительных услоФизическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа из "Вариационные принципы механики " Отметим существенную разницу между указанными двумя способами решения задачи. В первом случае, когда используется дополнительное условие локального типа, коэффициент А является функцией т, во втором, — когда дополнительное условие, определенный интеграл, взятый по всей области, — Л будет константой. [c.106] Задача 2. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (.3.4.16). Если отонадествить с I/, то дифференциальное уравнение для можно непосредственно проинтегрировать. Показать, что результат в обеих задачах совпадает. Во второй задаче л — константа и совершенно отличается от А из первой задачи. [c.107] Мы снова получаем задачу о нахождении стационарного значения функции, но эта функция — уже не первоначальная потенциальная энергия V, а видоизмененная потенциальная энергия V. Физически это вполне понятно. Поскольку мы не ограничиваем вариации положения системы условием (3,5.1), а допускаем произвольные вариации q., постольку будут действовать не только приложенные силы, но и силы, обеспечивающие выполнение заданной связи. Они тоже имеют свою потенциальную энергию, которую следует добавить к потенциальной энергии внешних сил. Поэтому преобразование потенциальной энергии путем добавления члена Kf — это не просто математический прием, а операция, имеющая реальный физический смысл. Преобразование потенциальной энергии в соответствии с методом множителей Лагранжа отражает наличие потенциальной энергии у сил, обеспечиваюи их выполнение заданных кинематических условий. [c.107] Таким образом, член с множителем Лагранжа обладает следующим интересным свойством из него можно получить силу реакции, связанную с соответствующей кинематической связью. Ниже мы увидим, что это справедливо не только в состоянии равновесия, но и при движении (см. гл. V, п. 8). [c.108] Следовательно, для этих сил выполняется закон Ньютона действие равно противодействию . Силы появляются попарно, равные по величине и противоположные по знаку. [c.109] Показать с помощью метода множителей Лагранжа и результатов предыдущих двух задач, что силы, удерживающие частицы твердого тела, не дают результирующей силы F и результирующего момента М. [c.109] Если имеющиеся кинематические связи неголономны, то уже нельзя записать видоизмененную функцию, которая должна быть минимизирована. Но в условиях равновесия все же появляются члены с Это опять-таки имеет прямой физический смысл. Члены с Х добавляют к приложенным силам силы, обеспечивающие удовлетворение кинематических связей. Хотя в этом случае и не существует силовой функции, силы реакции возникают, как и раньше. [c.109] Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа заключается в том, что этот метод позволяет получить силы реакции, возникающие вследствие наличия кинематических связей. В случае голономных связей эти силы можно получить из некоторой силовой функции в случае неголономной связи такой функции не существует, однако силы реакции можно получить и в этом случае. [c.110] В такой форме неравенство Фурье справедливо и для поли-генных сил, не имеющих потенциальной энергии. Если работа сил на любом виртуальном перемеш ении равна нулю или отрицательна, то система находится в равновесии. [c.111] Когда шар, подвешенный на нити, движется вверх, работа силы тяжести отрицательна. При горизонтальном (и обратимом) перемеш,ении шара она равна нулю. Аналогично, при движении шара вдоль по горизонтальному столу (обратимое перемещение) работа силы тяжести равна нулю, а при движении шара вверх она становится отрицательной. Механическая система, которая не может прийти в равновесие внутри некоторой области пространства конфигураций, будет двигаться к границе области и найдет свое равновесие там. Удовлетворить неравенству (3.6.4) на границе области легче, чем равенству (3.6.1) внутри области. Напомним, что на границе области для равновесия не требуется стационарности потенциальной энергии. [c.111] Резюме. Обычная формулировка принципа виртуальных перемещений сумма всех виртуальных работ равна нулю справедлива только для обратимых перемещений. Для необратимых перемещений на границе пространства конфигураций условие равна нулю следует заменить — меньше или равна нулю . [c.111] Вернуться к основной статье