ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне из "Вариационные принципы механики " Как известно, любая задача, приводящая к решению дифференциальных уравнений, требует определенного числа граничных условий для того, чтобы решение было единственным. Эти условия формулируются на основе - имеющихся физических соображений. Может, однако, случиться, что физические соображения не приводят к граничным условиям либо дают их в количестве, недостаточном для получения однозначного решения. [c.92] Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93] Так как вариации фиксированных величин равны нулю, то все члены в (2.15.5) обращаются в нуль, и единственным условием обращения в [нуль Ы остается дифференциальное уравнение (2.15.4). Все граничные условия здесь наложены извне и никакие естественные условия не добавляются. [c.94] Эти условия возникают как следствие вариационной задачи и дополняют внешние условия (2.15.9). [c.95] Заметим, что здесь уже все граничные условия вытекают из вариационной задачи. Наложенных извне условий нет, но естественные условия имеются в нужном количестве. [c.95] В подобных случаях задача имеет решение только при условии, что р(х) ортогонально к решениям (2.15.13) и (2.15.14) однородного уравнения, т. е. [c.96] Физический смысл этих условий заключается в том, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Эти условия определяют две поддер-живаюш,ие силы, необходимые для равновесия стержня. Эти силы получаются, таким образом, из условий интегрируемости краевой задачи граничные же условия задачи целиком определяются с помош,ью вариационного исчисления. [c.96] Задача 1. Исследовать случай, когда конец х = 0 поддерживается (но не защемлен), а конец х= I свободен. Показать, что имеется лишь одно условие интегрируемости сумма всех моментов равна нулю . [c.96] Задача 2. Рассмотреть случай двух стержней различного сечения, жестко скрепленных друг с другом. Здесь константа k в дифференциальном уравнении (2.15.4) испытывает скачок в точке х — соединения стержней. Показать, что граничный член (2.15.5) приводит к двум условиям непрерывности в точке х = а именно к требованию, чтобы ky и ky были непрерывны в точке х = i. [c.96] Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96] Вернуться к основной статье