ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Варьирование при наличии дополнительных условий из "Вариационные принципы механики " Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86] Объединим теперь подинтегральные выражения в (2.12.3) и соберем члены, содержащие одинаковые bq . Мы должны были бы исключить последние п — т) вариаций bq при помощи уравнений (2.12.2), но этого можно избежать, выбрав Xi таким образом, чтобы коэффициенты при этих bq обратились в нуль. Оставшиеся вариации могут выбираться произвольно, а потому и при них коэффициенты должны быть равны нулю во всем интервале. В итоге получается, что коэффициенты при всех bq . обращаются в нуль, безотносительно к тому, является ли данная вариация зависимой или нет. [c.87] В ЭТОМ случае, как и всегда, Л должны рассматриваться как константы в процессе варьирования. Можно, однако, включить их в вариационную задачу в качестве дополни тельных неизвестных функций от t. Варьирование по % приведет тогда снова к дополнительным условиям (2.12.1) Решение системы (2.12.5) должно удовлетворять допол нительным условиям (2.12.1), что и определяет Л как функ ции от t. Из имеющихся начальных условий мы можем вы брать произвольно лишь п — т координат тл п — m скоро стей, а остальные и q. определятся из дополнительных условий. Это согласуется с тем фактом, что соответствуюш,ая механическая система имеет лишь п — т степеней свободы. Поэтому использование дополнительных координат является лишь удобным математическим приемом. [c.88] Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88] Вернуться к основной статье