ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кинематика твердого тела из "Механика " Как мы видели в начале 7, твердое тело имеет шесть степеней свободы три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения. [c.158] Рассмотрим тело в двух различных положениях — в начальном и в конечном . Выберем произвольную точку тела О в качестве начала отсчета и вокруг этой точки опишем сферу (например, единичного радиуса). На поверхности сферы отметим две точки А и В. Если перевести три точки О, А и Б из их начального положения в конечное, то и все точки твердого тела перейдут из начального положения в конечное. [c.158] Сначала мы перенесем начало отсчета О из начального положения 0 в конечное положение О2. Осуществим это путем параллельного переноса, при котором каждая точка тела испытывает прямолинейное перемещение на отрезок О1О2. Этим мы и определили три степени свободы поступательного движения. [c.158] мы совместили сферу i i, описанную вокруг точки Oi, со сферой К2 описанной вокруг точки О2 но это, вообще говоря, отнюдь не означает совпадения начальных и конечных положений точек А и В Ai и Bi на поверхности сферы Ki и, соответственно, А2 и В2 на поверхности К2). Мы покажем, что эти точки могут быть переведены из положения Ai Bi в положение А2, 2 с помощью вполне определенного поворота вокруг точки Oi =02- Положение соответствующей оси вращения и угол поворота определяют три степени свободы вращательного движения. [c.158] Равенство этих углов вытекает из равенства (по трем соответственным сторонам) двух заштрихованных на рис. 39 сферических треугольников AiflBi и А2 1В2. Поэтому равны между собой также и два угла, обозначенные на рис. 39 через 7. Вычитая из полного угла А1ПБ2 поочередно эти углы 7, получим правую и левую части равенства (22.1). Это равенство показывает, что с помощью одного и того же поворота П не только точка Ai приводится в положение А2, но и точка Bi — в положение Б2. [c.159] Ввиду произвольного выбора начала отсчета О, величина и направление поступательного перемещения могут изменяться в широких пределах . Напротив, величина угла поворота и направление оси вращения не зависят от выбора начала отсчета. В самом деле если мы выберем в качестве начала отсчета не точку О, а какую-либо другую точку О, то разность между поступательными перемещениями, соответствующими точкам О и О, будет опять-таки поступательным перемещением. Последнее, однако, совершенно не изменяет положения точек А и В на сферах Ki и i 2- Таким образом, построение, представленное на рис. 39, остается неизмененным угол поворота ft сохраняет прежнюю величину, а новая ось вращения, проходящая теперь через новое начало отсчета О, параллельна прежней оси вращения. [c.159] как и на рис. 15, г — радиус-вектор, проведенный из расположенного на оси вращения начала отсчета О в точку Р, скорость которой w определяется этой формулой. [c.160] Оба последних утверждения не имеют места для рассмотренных ранее конечных поворотов, сложение которых происходит не по простым правилам векторного исчисления, а по правилам введенного Гамильтоном исчисления кватернионов. Результат сложения двух конечных поворотов зависит от их последовательности, т. е. их нельзя менять местами. [c.161] Здесь будет уместно рассмотреть разницу между полярными и аксиальными векторами. [c.161] Полярными векторами являются, например, скорость, ускорение, сила, радиус-вектор и т. д. Они наглядно изображаются направленными отрезками со стрелкой на конце. Их прямоугольные слагающие преобразуются при вращении системы координат как сами координаты, т. е. по схеме ортогонального преобразования (определитель = +1). При инверсии координатной системы (замена ж, z на —ж, —у —z определитель = —1) слагающие изменяют свои знаки на противоположные. [c.161] Аксиальными векторами являются, например, угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса. Они изображаются при помощи соответствующей оси с указанием направления и величины вращения. Если же мы хотим изобразить их с помощью отложенной на этой оси стрелки соответствующей длины, то мы должны вполне произвольно условиться относительно направления стрелки, например, установить правило правого винта. Прямоугольные слагающие аксиального вектора преобразуются при чистом вращении системы координат так же, как и слагающие соответствующей стрелки, т. е. ортогонально однако при инверсии системы координат они не изменяют своих знаков. [c.161] В этом случае правило правого винта должно быть заменено правилом левого винта, и наоборот, — в соответствии с тем, что правая система координат переходит при инверсии в левую систему координат. [c.162] Векторное произведение двух полярных векторов будет аксиальным вектором (пример момент силы). Векторное произведение аксиального и полярного векторов будет полярным вектором [пример скорость W в уравнении (22.4)]. В этом можно легко убедиться, рассмотрев поведение этих векторных произведений при инверсии системы координат . [c.162] Поскольку скорость поступательного движения одинакова для всех элементов массы с ш, то, очевидно. [c.163] Величины а, (3, 7 являются, очевидно, направляющими косинусами оси вращения о , произвольно выбранной в твердом теле. Таким образом, согласно формуле (22.13а), момент инерции относительно любой оси полностью определяется заданием шести величин 0 /.. [c.165] Это уравнение (отвлекаясь от случаев вырождения) является уравнением поверхности эллипсоида так как при распределении масс на конечных расстояниях момент инерции 0, вообще говоря, отличен от нуля. Поверхность, изображаемую уравнением (22.15), мы называем эллипсоидом инерции. [c.165] Величины 01, 02, 03 называются главными моментами инерции. Центробежные моменты относительно главных осей обращаются в нуль, что можно рассматривать как определение главных осей инерции. Наша тензорная схема (22.136) становится диагональной , т. е. только ее диагональные элементы 0i, 02, 0з будут отличны от нуля. Если же мы будем рассматривать тензор не в системе главных осей, а в какой-либо другой системе координат, то мы должны будем добавить три параметра, определяющие направление главных осей, и таким образом опять получим шесть величин, характеризующих симметричный тензор. [c.166] Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166] Вернуться к основной статье