ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные затухающие колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости из "Основы классической механики " На рис. 16.1 в центре справа показана модель для изучения движения при наличии сопротивления, пропорциональном скорости. Вокруг нее - некоторые примеры других систем, движение которых аналогичное. [c.56] Решение (17.5) зависит от значений л, и 2 значит от безразмерного сопротивления р. Исследуем возможные случаи. [c.57] Следовательно, величина, обратная логарифмическому декременту затуханий, определяет число колебаний за время релаксации. [c.59] Движение тела - апериодическое затухание. При этом, когда оо, х - О или без изменения знака, или меняя его только один раз. Действительно, уравнение л = О, т.е. С, + Сз = О или не имеет положительного корня (когда С, и Сз одного знака), или имеет только один корень. Таким образом, при Р = 1 тело асимптотически приближается к положению равновесия либо не проходя его, либо проходя только один раз. Все зависит от начальных условий движения (рис. 17.2,17.3). [c.59] Снова апериодическое затухание д - О при оо. Как и в предыдущем случае, X - О без изменения знака или меняя его только один раз и здесь уравнение дс = О, т.е. [c.59] На маятник действует момент сил трения неизменного направления тормозящий в том полупериоде, в котором маятник и вал вращаются в разные стороны, и ускоряющий в полупериоде, когда они вращаются в одном направлении. [c.60] Это уравнение имеет два решения и тс -. [c.60] Учет более высоких степеней при разложении в ряд приводит к нелинейному уравнению колебаний тогда оказывается, что при очень малых ф амплитуда колебаний маятника нарастает, а для достаточно больших ф она убывает. В результате оказывается возможным установление стационарной амплитуды, которая не зависит от начальных условий. [c.62] В заключение приведем полный набор графиков движений и фазовых траекторий для различных р. [c.62] На рис. 17.5 показаны временные развертки движений 1фи сопротивлениях, пропорциональных скорости. Справа - фазовые траектории этих движений при различных возможных значениях Р. [c.62] Величина Н для модели на рис. 18.1 - это сумма деформаций пружин под действием силы трения Fq. [c.63] Как видно из (18.12), спустя один цикл координата дсз второго крайнего положения меньше начальной на АН. Это относится и ко всем последующим циклам. Максимальные отклонения тела в одну сторону составляют поэтому арифметическую прогрессию с разностью 4Я(рис. 18.2). [c.65] Т - — - такой же, как и в отсутствие трения). [c.65] В нижней полуплоскости, р 0, фазовая траектория - полуокружность с центром в точке Н, 0) в верхней полуплоскости, / О, - полуокружность с центром в точке (- Н, 0). Отрезок (- Н, Н) на оси абсцисс фазовой плоскости - геометрическое место состояний покоя тела (рис. 18.3). [c.66] Фазовая траектория - набор полуокружностей, идущих одна вслед за другой со все уменьшающимися радиусами. Движение тела вперед - назад (фазовой точки - по полуокружностям) продолжается до тех пор, пока восстанавливающаяся сила — кх превосходит силу трения. Как только окажется кх Р , фазовая точка попадает на отрезок (- Н,Н) и тело останавливается. [c.66] На рис. 19.1 в центре слева показана основная модель вынужденных колебаний. Такие колебания возбуждаются и поддерживаются силами внешнего (по отношению к колеблющейся системе) происхождения. Эти силы являются заданными функциями времени, независящими от движения системы, и называются вынуждающими силами. На том же рисунке вокруг основной модели приведены примеры возможных других аналогичных систем. [c.66] Вынужденные колебания могут возникать и поддерживаться также и иным путем - кинематическим. На рис. 19.1 в центре справа показана простая школьная модель кинематического возбуждения вынужденных колебаний -за счет заданного движения в верхней точке подвеса пружины при вращении рукоятки. Вокруг этой основной модели приведены различные возможные реализации кинематического возбуждения на практике. [c.66] Найденное частное решение (19.8) описывает вынужденные колебания. Оно устанавливается спустя некоторое время после начала движения после того, как практически затухнет та составная часть колебаний, которая описывается однородным уравнением, рассмотренным в предыдущем параграфе. [c.69] Вернуться к основной статье