ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы От редактора перевода из "Нелинейная теория распространения волн " Проблема нелинейных гравитационных волн — традиционная проблема в исследованиях советских ученых-механиков труды А. И. Некрасова ), Н. Е. Кочина ), М. А. Лаврентьева ), Л. Н. Сретенского ) их многочисленных последователей внесли фундаментальный вклад в классическую линию развития нелинейной теории волн. Дискуссия в Лондонском королевском обществе, материалы которой предлагаются вниманию читателя в русском переводе, была посвящена новым методам в нелинейной теории распространения волн, развитым в течение последних нескольких лет в основном трудами английских ученых. Вряд ли есть необходимость что-либо добавить к той яркой характеристике перспектив применения этих новых методов, которая дана во вступительной и заключительной статьях организатора дискуссии профессора М. Дж. Лайтхилла. Эти методы уже оказались полезными в ряде задач физики сплошных сред, даже весьма далеких от породившей их теории волн. По-види-мому, они могут существенно облегчить исследование вопросов автоколебаний в сплошных средах и, в частности, актуальных задач автоколебаний вязкой и вязко-упругой жидкостей. [c.5] В этом предмете, оказывается, легко впасть в ошибку, ожидая проявления нелинейных эффектов только в том случае, когда амплитуда колебаний давления составляет существенную часть самого давления. Казалось бы на большом удалении от мест, где возмущения велики, можно утверждать, что волны постепенно затухают и становятся уже достаточно малыми для того, чтобы линейная теория распространения могла описывать их дал-ьнейшее развитие с несомненно достаточно полной точностью . Однако такое предположение было бы ошибочным малые нелинейные члены уравнений создают при распространении на большие расстояния накапливающееся воздействие, влияние которого достаточно велико, и это утверждение остается справедливым, даже если амплитуды волн затухают. [c.7] Аспирант, о котором идет речь, как вы знаете, успешно распутал эту задачу (Уизем, 1956), и для всех нас составляет большое удовольствие видеть его сегодня нашим первым докладчиком по вопросу о волнах в средах с дисперсией, представляю-шему до сих пор большую трудность. Я полагаю, что пока еше не вполне ясно, какова будет вся область практического приложения этих новых теорий (подобно тому как в 1947 г. это было неясно в акустическом случае) частично это связано с тем, что результаты новых теорий еше не отработаны на достаточно широком классе примеров. Несомненно, что некоторые из примеров, представленных на обсуждение, позволят прояснить потенциальные возможности новых теорий, но можно поручиться, что эти теории будут иметь гораздо более широкое поле приложений и большую пробивную силу, нежели сейчас можно обоснованно предполагать. Может оказаться, в частности, что в очень многих задачах, в которых мы теперь спокойно применяем линейную теорию (за неимением ничего лучшего), истинное поведение решений сушественно иное. [c.8] Исторически и в развитии самой линейной теории имело место аналогичное отставание во времени между развитием методов для изотропных задач без дисперсии и построением соответствующих обобщений на случай анизотропных волн с дисперсией. Разумеется, даже в изотропном случае точные аналитические методы позволяют провести, вычисления до конца только тогда, когда формы границ и другие характеристики задач достаточно просты. В более сложных условиях для определения Т1ормальных мод и сечений рассеяния целесообразнее применять численные и вариационные методы, но эти методы эффективны только для относительно низких частот. [c.8] Метод решения задач для случая высоких частот совсем иной, его идея восходит к принципу Гюйгенса для среды без дисперсии в самом деле, в течение столетий приближение геометрической оптики (наряду с его различными ответвлениями, такими, как метод ВКБ и ползушие моды в теневых зонах) продолжало нести свою превосходную службу. Соответствую-шее использование геометрической оптики и лучевого метода в анизотропных средах с дисперсией было первоначально развито Гамильтоном в 1837 г. (хотя и не было подхвачено его современниками) оно неявно содержится в принципе соответствия квантовой механики. И лишь совсем недавно этот метод получил широкое распространение и приложение в задачах геофизического и инженерного направлений, в частности в метеорологии, океанографии и магнитной гидродинамике [3]. [c.9] Я уверен, что этот принцип и определение диапазона его применимости суть ключевые моменты исследования. Существуют различные методы расчета, использующие этот принцип (первоначальный метод Уизема, его более поздний и более общий вариационный метод и, быть может, также и другие методы), однако значение всех этих методов должно зависеть от того, насколько точно волновые системы в типичных ситуациях, представляющих практический интерес, можно считать локально плоскими и периодическими. [c.9] СВОИ многолетние усилия, представляют собой неустойчивую конфигурацию. [c.10] Эта теория, которую доложит Бенджамен, является частным случаем теории резонансных взаимодействий , изучению которой профессор Филлипс посвятил свою основополагающую работу [5] еще шесть лет назад. Резонирующая пара волн, образующая при совместном действии силы тяжести и поверхностного натяжения, была обнаружена много ранее Уилтоном [7], однако теория резонанса для теории собственно гравитационных волн, сушественно опирающаяся на резонансные триплеты, была разработана только на протяжении последних шести лет. Филлипс в своем сообщении даст описание как теории, так и экспериментов в этой области, а Лонге-Хиггинс, также внесший очень важный вклад в эту теорию [4], опишет другую, в некотором смысле аналогичную работу, выполненную им совместно с Гиллом для теории волн Россби и планетарных волн в океане. [c.10] Имея это в виду в качестве конечной цели, я хотел бы сти- улировать самое широкое обсуждение представленного материала. Для такого обсуждения в программе Дискуссии отведено много времени. Надеюсь, что различные вопросы и выступления по ходу дискуссии будут способствовать успеху этого собрания. [c.11] В то же время математические преобразования, которые при других способах могут оказаться трудоемкими, становятся простыми, если использовать функцию Лагранжа I. По-видимому, для отыскания вариационных принципов, отвечающих данной системе уравнений, не существует общего метода, отличного от эмпирического подхода. Однако для многих важных случаев такие вариационные принципы известны. Как это ни странно, по-видимому, соответствующей вариационной формулировки для волн на воде в литературе до сих пор дано не было заведомо, она не является общеизвестной. Волны на воде представляют собой основной пример, рассмотренный в этой статье в качестве типичного примера волн в средах с дисперсией. Первые два раздела статьи содержат изложение соответствующего вариационного принципа и приближений для длинных волн. [c.12] Эта формулировка в явном виде была дана Льюком [7]. Бейтмен [1] указал некоторую форму, для которой функция (2) является частным случаем, однако он не обратил внимания на то, что условие на свободной поверхности (главное затруднение в теории волн на воде) также следует из (2). [c.13] Одним из подходов к нелинейным волнам является использование метода возмущений для малой амплитуды, основанного на линеаризованной теории, как приближении более низкого порядка. Непосредственное разложение в ряды при этом приводит к появлению вековых членов, линейно растущих по t, которые обязаны своим происхождением резонансу между произведениями линейных членов, имеющими более высокий порядок, с первоначальными членами линейной теории. Данный вопрос интенсивно разрабатывался другими участниками настоящей дискуссии, и большинство следующих статей посвящено этому подходу. [c.17] Представляется заслуживающим внимания показать коротко, каким образом вариационные методы используются для резонансных взаимодействий с той целью, чтобы подчеркнуть различие между этим подходом и методом медленно меняющихся волн, описанным в следующем разделе. Для этого достаточно простого примера однако следует с самого начала подчеркнуть, что в других примерах алгебраические выкладки сушественно возрастают. Рассматриваемый пример является необычно простым. [c.17] Этот тип неустойчивости был обнаружен Бенджаменом для волн на глубокой воде. Резонанс частот -Ь = 2 о, который можно усмотреть непосредственно из показателей экспоненциальных выражений в (27), следует отметить специально. [c.19] В более общих примерах возникают отмеченные ранее усложнения, поскольку резонанс может не появиться даже при использовании нелинейной теории второго и третьего порядков. Этот вопрос и соответствующее использование диаграммной техники для преодоления упомянутых усложнений обсуждаются в статье Хассельмана. [c.19] Вернуться к основной статье