ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод псевдодифференциальных уравнений для разреженного газа из "Уравнения движения " При выводе гидродинамических уравнений из уравнений Больцмана в нулевом приближении получаются чистые законы сохранения в виде дифференциальных уравнений Эйлера с простыми (алгебраическими) замыкающими соотношениями. [c.246] Следующее приближение получается при учете квазиравновесности и приводит к псевдодифференциальной системе уравнений, выводом которой сейчас займемся. [c.246] Далее мы предполагаем, что имеем дело с разреженным газом, т.е. [c.247] Тогда естественно считать, что распределение ф( ,т) вероятности — Пуассоновское, т.е. [c.248] При этом в смысл квазиравновесности включаем и то, что функции распределения мало меняются при сдвигах на расстояния порядка расстояния свободного пробега и за времена порядка интервала между двумя столкновениями, так что эти эффекты можно учесть только в первом приближении. [c.248] Точность приближения решения кинетических уравнений получается от того, что равновесные распределения в интеграле столкновений (62) дают точный нуль, соответственно, при вычислении интеграла столкновений нужно считать только перекрестные члены /(/о,/ ). [c.249] Из-за малости первого порядка членов следует, что величина Д/о,/О не больше первого порядка малости. Тот факт, что вклады молекул, идущих в противоположных направлениях, сокращаются в первом приближении, дает, что величина /(/ ,/0 имеет второй порядок точности. Таким образом, получается точное в первом приближении решение. [c.249] На самом деле, нам необходимо только точность не самого решения кинетических уравнений, а только вклад соответствующей добавки Д при вычислении гидродинамических параметров потока. [c.250] подставляя эти выражения в (66), получим поправки, учитывающие диссипативные вязкие папряжепия и теплопроводность через псевдодифференциальные операторы, примепеппые к плотности, к скоростям и температуре. [c.251] Когда можно пренебречь отношением 1ср Ь, из уравнений исчезает вся псевдодифференциальность, и они приобретают вид уравнений Навье-Стокса и теплопроводности. Псевдодифференциальность проявляется при расчетах структур ударных волн, когда это отношение не (очень) мало, и в аэродинамике в верхних слоях атмосферы. [c.252] Псевдодифференциальность уравнений также отражается на решении гидродинамических задач, когда отношение длины расстояния среднего пробега /д, на расстояние характерного масштаба изменения параметров Ь = у / grad(y) (в аэродинамических задачах эта величина порядка толщины погранслоя, точнее, толщина погранслоя измеряется в нескольких L) не является пренебрежимо малой. Когда это отношение пренебрежимо мало, при расчетах можно пользоваться локальными уравнениями (Навье-Стокса, теплопроводности). [c.253] За дальнейшими сведениями о примепепиях псевдодифференциальных уравнений, называемых уравнениями нелокальной гидромеханики, отсылаем в [369], которым посвящена последняя глава, и к цитированной там литературе. Отметим только одну существенную деталь, не затронутую там, а именно, приближенные локальные уравнения, полученные из более точных псевдодифференциальных (нелокальных) уравнений, являются секулярными (получены с увеличением порядка системы с малым множителем), а потому становятся совершенно непригодными при изучении на устойчивость и некоторых волновых свойств. [c.253] Возникает вопрос, стоит ли пользоваться такими услож-пеппыми уравпепиями, если их отличие от привычных уравнений Навье-Стокса проявляется только при расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул. В задачах типа выявления структуры ударной волны эти уточнения того не стоят. К тому же, для этих задач имеются прямые расчеты кинетических уравнений [369, 370]. [c.253] Возникает еще вопрос обоснованности этих уравнений с вычислительной точки зрения. Отметим, что решение линейных задач с такими уравнениями не сложнее решения уравнений Эйлера, т.е. менее трудоемкое, чем решение линеаризованных уравнений Навье-Стокса. Численное решение нелинейных уравнений также не намного сложнее, чем решение нелинейных уравнений Навье-Стокса, из-за того, что интегральные ядра являются достаточно сосредоточенными. [c.254] Вообще, для решения псевдодифференциальных систем уравнений можно разработать алгоритмы, не сильно уступающие алгоритмам решения дифференциальных систем уравнений, т.е. гораздо более экономные, чем решение прямых кинетических уравнений, когда размерность базового пространства вырастает как минимум на три, даже при решении одномерных задач. [c.254] Здесь мы не рассматриваем вопрос о виде диссипативных уравнений для плотных газов и жидкостей, который заслуживает отдельного рассмотрения. Отметим только, что в этом случае, по мнению авторов, длина релаксационной передачи импульса уменьшится в паправлепии, перпендикулярном направлению движения, и увеличится в направлении движения. [c.254] Однако экспонента начинает проявляться только при длинах волн, сравнимых с малой длиной (среднего пробега молекул для разреженного газа), и при достаточных длинах ведет себя как оператор двойного дифференцирования для вязкости. [c.255] Из-за действительности характеристических скоростей в пределе, в коротковолновой зоне гиперболические уравнения находятся, с точки зрения устойчивости, в неопределенной (мнимая часть может качнуться как в верхнюю - устойчивую, так и в нижнюю - неустойчивую - область) зоне. [c.256] Вернуться к основной статье