ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические и устойчивые по Пуассону траектории в фазовых пространствах динамических систем из "Уравнения движения " Рассмотрим семейство достаточно гладких векторных полей в области О двумерной ориентированной римановой поверхности. В касательном пространстве Т О каждой точки д 0 можно измерять углы между векторами рассматриваемого семейства. [c.224] Определение. Однопараметрическое семейство полей (е 6 Е) обладает свойством монотонности (СМ) в О, если для любых точек 7 б ), e е Е, 2 е Е в касательном пространстве ТдО угол между векторами 3,, е Т О является монотонной функцией разности параметров 2 1 этом сохраняется ориентация изменения угла. Если рассматриваемая монотонная зависимость строгая, то говорим, что обладает СМ строгим. [c.224] Теорема 8. Пусть поле обладает СМ в области О плоскости. Пусть Хц - неособое начальное условие для фазовой траектории поля при всех е е Е. [c.224] При этом искомая фазовая траектория единственна, если СМ строгое (ср. [253]). [c.225] Схема доказательства. Можно считать, что для любого е множество у о состоит из ю-предельных множеств. Согласно теореме о непрерьшной зависимости решений от начальных условий и правых частей уравнений, при малом изменении параметра е предельное множество останется в близкой окрестности первоначального (если множество уд односвязно). Если последнее множество многосвязно, то последовательно перебираем каждую из компонент связности. В силу выполнения свойства монотонности, применяя теорию систем сравнения, немонотонная зависимость траектории от параметра е исключается. [c.225] Аналогично может быть доказана качественно другая лемма, которая верна и на любых гладких двумерных ориентированных многообразиях. [c.226] Тогда существует единственное значение параметра е = о б(бр 2), такое, что траектория, выходящая из южного (северного) полюса, входит в северный (южный) полюс (это - гетероклиническая ситуация на сфере). [c.226] ЮТ указанным свойством. Рассуждая как в теореме 8, приходим к противоречию со свойством монотонности. [c.227] Часто в системах обыкновенных дифференциальных уравнений существуют бесконечные всюду плотные в некоторых множествах семейства замкнутых траекторий. При этом незамкнутые траектории также оказываются всюду плотными в некоторой области фазового пространства. Здесь наряду с понятием всюду плотность во множестве возникает более конкретное понятие всюду плотности возле себя. Последнее свойство траекторий имеет классическое название устойчивости по Пуассону [196, 260]. [c.228] Напомним, что траектория в фазовом пространстве устойчива по Пуассону, если через конечное время она возвращается в любую достаточно малую окрестность любой своей точки [260]. [c.228] Достаточные условия существования устойчивых по Пуассону траекторий формулируются в следующей теореме. [c.228] если в любой окрестности точки ц = Ио существует значение ц такое, что проекция интегральной траектории х 1, ц) с произвольными начальными условиями х1, 1 )е х, 1), I) на пространство Я [х] - замкнутая кривая, то кривая х ( ), I К, принадлежащая пространству К х , всюду плотна возле себя (устойчива по Пуассону). [c.229] Следствие. Множества Z и 22 совпадают. И прямое, и обратное включения следуют из плотности семейства замкнутых кривых и устойчивости по Пуассону. [c.230] Вернуться к основной статье