ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема различения центра и фокуса и системы сравнения из "Уравнения движения " Первая проблема различения в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений - проблема центра и фокуса - возникает в точке (л,0) в полосе П для динамической системы вида (7) при условиях (3), (8), а также при а, = 2 и О 2 2 (см. приложение 1). В приложении 1 (предложение 1) данная проблема решена при /и О в пользу слабого фокуса. Таким образом, в достаточно малой окрестности точки (л,0) все траектории-спирали приближаются к точке (л,0) либо при I +С0, либо при t -со (здесь t - независимый параметр вдоль траекторий). [c.213] Для упорядоченной пары систем X и 7 их характеристическую функцию будем обозначать через х(Х, У). [c.215] Предложение 5. Точка (О, 0) является сложным устойчивым фокусом при оиц 2 для системы (20). [c.215] Действительно, индекс 1п (см. приложение 1) точки (О, 0) для системы (20) совпадает с индексом 1п точки (О, 0) для системы (19) и он отрицателен, поскольку зависит лишь от вторых и третьих производных правых частей рассматриваемых систем. [c.215] Прежде чем говорить о характере траекторий системы (19), докажем одно вспомогательное утверждение, представляющее самостоятельный интерес. [c.216] Для поиска подходящей системы сравнения, в целях исследования существования предельных циклов, проблемы различения центра и фокуса и т.д., вовсе не обязательно иметь ТСП с центром в данной особой точке. Искомая система сравнения может иметь либо притягивающую, либо отталкивающую особую точку. [c.216] Пусть в области О, содержащей единственную особую точку системы (А), заданной для простоты на плоскости, стоит проблема различения центра и фокуса. Пусть в этой же области система (Б) имеет ту же единственную особую точку хо. [c.216] Рассмотрим для определенности так называемые отрицательно ориентируемые системы, в которых траектории обходят точку Хо против часовой стрелки. Аналогично могут быть рассмотрены положительно ориентируемые системы. [c.216] Лемма 11. Пусть область О является притягиваемой (отталкиваемой) точкой Хд системы (Б). Тогда если характеристическая функция X ((А), (Б)) положительно (отрицательно) определена в области Д то область О является притягиваемой (отталкиваемой) точкой х системы (А). [c.217] Лемма 11 носит явно геометрический характер. Действительно, векторное поле системы (Б) повернуто относительно векторного поля системы (А) на неотрицательный (неположительный) угол. [c.217] Аналогичное утверждение можно сформулировать и для устойчивых и неустойчивых предельных циклов и т.д. [c.217] в качестве системы (А) возьмем систему (19), а в качестве системы (Б) - систему (20). Возникает вопрос о размерах области ), фигурирующей в лемме 11. [c.217] Варьируя постоянную С, имеем дифференциальное уравнение, позволяющее получить мероморфное решение уравнения (23), а значит и (22). Особенности возникают лишь при м = V = О, т.е. когда значение 1 не определено. Но последнее уравнение и задает начало координат на плоскости х,у . [c.218] Следствие 1. Для системы (20) область притяжения -вся полоса х,у) К -1 д 1 . [c.218] Следствие 2. У динамической системы (19) в полосе х,у) К - х не существует замкнутых характеристик. [c.218] Доказательство. Начало координат для системы (20) - аттрактор (предложение 5). В силу предложения 6, область его притяжения - вся полоса. В силу предложения 4 попадаем в условия леммы 11. [c.219] Вернуться к основной статье