ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Характеристические функции и кривые контактов векторных полей и динамика твердого тела, взаимодействующего со средой из "Уравнения движения " Рассмотрим две системы уравнений на плоскости. Эти уравнения задаются полями X = Х , и У = У , 7 в некоторых координатах. Естественно рассмотреть функцию X = Х,72 - Х2У1, которая отвечает за знак синуса угла между полями X и 7. Очевидно х = О там и только там, где поля X и 7 касаются. [c.202] Функция X удовлетворяет следующим свойствам % Х, 7) = = -х(7, X), хС- У) = Х(Х, У) ддя любой действительной функции X. [c.202] Определение. Функцию % мы назовем характеристической функцией двух векторных полей, а уравнение х = О назовем уравнением кривой контактов для полей X и У. [c.202] Лемма 6. Пусть ф О. Если при а О справедливо неравенство F a) фО в полосе П, то у системы вида (2) при h = 0 не существует замкнутой кривой из траекторий в полосе П, когда F (0) О, F(0) = О. [c.203] Следствие. Если F еФ, то в полосе П не существует замкнутой характеристики системы (2). [c.203] Рассмотрим далее систему (13) в полосе П. [c.203] Лемма 7. У системы (13) в полосе П при а фО не существует замкнутой кривой из траекторий, если F а) ф О при а О, а также F (0) О, F(0) = О. [c.204] Лишь в начале координат поля систем (13) и (13 ) касаются. Из рассуждений, используемых при доказательстве леммы 6, следует лемма 7. [c.204] Следствие. Если F еФ, то в полосе П не существует замкнутой характеристики системы (13). [c.204] Теперь рассмотрим систему (7) в полосе П. [c.204] Очевидно, что почти всюду в полосе П характеристическая функция положительна. Остается сослаться на методы доказательств лемм 6 и 7. [c.205] Следствие. Если б Ф, 5 е Е, то в полосе П не существует замкнутой характеристики системы (7). [c.205] Замечание. Как было показано в приложении 1, в полосе П у системы вида (7) возможны при некоторых условиях предельные циклы. [c.205] Доказательство. В области О рассмотрим систему (7). [c.205] Остается сослаться на методы доказательств лемм 6, 7, 8. [c.206] При исследовании системы (7), в зависимости от области, используется одна из систем вида (13) или (13 ). [c.206] Вернуться к основной статье