ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие утверждения об отсутствии замкнутых траекторий, охватывающих цилиндр, для систем, обладающих центральной симметрией из "Уравнения движения " В предыдущем разделе рассматривались замкнутые траектории систем дифференциальных уравнений, стягиваемых в точку по двумерной фазовой поверхности. Такие траектории представляют часть тривиальной компоненты фундаментальной группы. Эта компонента всегда существует для двумерных гладких многообразий. В отличие от траекторий, рассматриваемых в предыдущем параграфе, замкнутые кривые, которые не стягиваются по фазовому многообразию в точку, могут не существовать. Последнее связано с тем, что топология фазового многообразия может препятствовать существованию нетривиальной компоненты у фундаментальной группы данного многообразия. [c.195] Рассмотрим для простоты случай двумерного цилиндра, топология которого допускает существование замкнутых кривых, не стягиваемых по цилиндру в точку. Примером такой кривой может служить огибающая цилиндр окружность. К тому же в дальнейших главах часто будут рассматриваться динамические системы на двумерном цилиндре. [c.195] Определение. Фазовой характеристикой назовем кривую, касающуюся векторного поля. В частности, кривая, состоящая из фазовых кривых поля, будет являться фазовой характеристикой. [c.196] Справедлива следующая теорема [32]. [c.196] Тогда в О нет более одной замкнутой кривой из траекторий системы (11), не стягиваемой по цилиндру в точку. [c.196] Если же при этом существует центр симметрии х векторного поля системы (11) такой, что ни одна нетривиальная фазовая характеристика не продолжается через х , то у системы (11) не существует даже одной замкнутой кривой из траекторий системы (11). [c.196] Если существует центр симметрии поля, обладающий указанным свойством, то кривых из траекторий будет существовать по крайней мере две (если они вообще есть). В силу утверждения, доказанного выше, приходим к противоречию. Теорема доказана. [c.197] Вернуться к основной статье