ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вопросы существования монотонных предельных циклов из "Уравнения движения " Рассмотрим замкнутую траекторию данного векторного поля в многомерном пространстве и трансверсальную площадку коразмерности 1 в какой-нибудь точке. Отображение последования переводит векторы поля, приложенные к площадке, в векторы поля, также приложенные к данной площадке. Поэтому существует по крайней мере один собственный вектор с собственным значением, равным 1, для данного отображения последования. Последний собственный вектор является вектором поля, приложенным к данной точке замкнутой траектории. Замкнутые траектории впредь будем называть циклами. [c.190] Допустим, что векторное поле задано в трехмерном пространстве. Тогда трансверсальная площадка двумерна и можно рассмотреть вектор нормали в данной точке цикла. На вектор поля системы и на построенную нормаль в данной точке можно натянуть соприкасающуюся плоскость. В ней можно определить координаты вдоль вектора поля и вектора нормали в данной точке. [c.190] Пусть трансверсальная площадка проходит через вектор нормали и вектор бинормали в данной точке. [c.190] Зафиксируем некоторые координаты в фазовом пространстве. [c.190] Определение. Если для каждой точки исследуемого цикла близлежащие траектории, пересекающие построенную перпендикулярную площадку, стремятся к циклу строго монотонно, то цикл назовем монотонным. [c.190] Другими словами, строгая монотонность означает, что близлежащие вектора поля не параллельны векторам поля вдоль цикла в данных координатах. Можно дать ряд эквивалентных определений монотонных циклов. Ограничимся одним. [c.190] Определение. Цикл называется монотонным, если ни один близлежащий вектор поля к вектору поля вдоль цикла не проектируется на перпендикулярную площадку в нулевой вектор возле любой точки цикла. [c.191] Определение. Предельный цикл на плоскости назовем монотонным, если при развертке его на прямую близкие траектории стремятся к циклу строго монотонно. [c.191] Рассмотрим системы вида (2) при й = О в полосе П. [c.191] Лемма 4. Если F а) ф О при а О, то монотонных предельных циклов не существует. [c.191] Пусть теперь F(0) = О. Тогда на прямой, задаваемой уравнением (а,ю) 6 7 а = 0 , векторное поле системы перпендикулярно этой прямой в координатах (а, ю). Если бы существовал монотонный цикл, то возле цикла в данных координатах все траектории не бьши бы параллельны циклу. [c.191] Следствие. Если F еФ, то лемма 4 выполнена во всей плоскости 7 а,ю , а именно, во всей плоскости не существует монотонных предельных циклов. [c.191] Замечание. Ниже будет показано, что при 4 2 О У систем вида (2) при й = О не существует никаких замкнутых кривых из траекторий во всей плоскости (по крайней мере при F 6 Ф ). Таким образом, локальные соображения о несуществовании монотонных циклов позволяют в дальнейшем исследовать вопрос о несуществовании любых замкнутых кривых из траекторий. [c.191] Последняя теорема легко обобщается на случай высших размерностей. [c.192] Вернуться к основной статье