ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы о рождении предельного цикла из "Уравнения движения " Цель этого параграфа - предложить достаточно простое, хотя и не исчерпывающее, изложение того, что обычно называют бифуркацией рождения предельного цикла из слабого фокуса, а также ее приложений к задачам динамики твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Исторически это восходит к работам Пуанкаре [196, 197] (1892 г.). Эта тема также обсуждалась A.A. Андроновым [3-13], начиная с 1930 г. Основные же работы Хопфа по данному вопросу появились в 1942 г. Хотя термин бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа (сюда иногда даже включают Фрид-рихса) бьш бы более точным, в западной литературе более распространен термин бифуркация Хопфа . Причиной этого является то, что самый существенный вклад Хопфа - обобщение результата с двумерного случая на высшие размерности. [c.175] Бифуркация рождения цикла - это появление периодических орбит ( автоколебаний ) из устойчивой неподвижной точки при прохождении параметра через критическое значение. Хотя в наше время доказана возможность применения бифуркационной теории Хопфа к нелинейным параболическим уравнениям с частными производными, мы целиком и полностью ограничимся применением этой теории к обыкновенным дифференциальным уравнениям на плоскости. [c.175] Как бьшо указано ранее, обычно к указанной бифуркации относят бифуркацию рождения устойчивого цикла из слабого асимптотически устойчивого положения равновесия. [c.175] При этом предположим, что начало координат при ц = Цц асимптотически устойчиво. [c.176] Доказательство этой теоремы (а также более общей) можно найти в [61]. Основная техника, используемая в доказательстве - это метод инвариантных многообразий. Суть доказательства лежит в применении теоремы о неявной функции. [c.176] В силу теоремы 1 можно сформулировать аналогичную теорему для рождения неустойчивого предельного цикла. [c.177] При этом предположим, что при ц = Цд существует окрестность начала координат такая, что любая нетривиальная траектория покидает ее за конечное время. [c.177] Теорему 2 можно доказать либо методом, используемым при доказательстве теоремы 1, либо сведением системы (1) к новой системе при помощи замены независимого переменного 1 -1 и ц -ц, в которой произойдет рождение устойчивого предельного цикла согласно теореме 1. [c.177] Таким образом, если система уравнений зависит от т параметров, то, вообще говоря, рождение цикла связано лишь с изменением одного параметра при фиксированных остальных т- параметрах. [c.178] Замечание 2. Основным моментом существования указанной бифуркации является наличие негрубого положения равновесия (но только фокуса - аттрактора или репеллера), т.е. такого равновесия, которое меняет свой тип при малейшем шевелении параметров системы. Можно привести примеры, когда все условия теоремы выполнены кроме одного как в линейном, так и в нелинейном случае положение равновесия является центром. Последнее условие и является ключевым в данном вопросе. Оно будет противоречить рождению грубого предельного цикла. [c.178] Вернуться к основной статье