ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Расчет хода действительных лучей через оптическую поверхность из "Автоматизация проектирования оптических систем " Основной объем информации об аберрациях оптической системы в процессе ее анализа получают из расчета действительных лучей, идущих на произвольно большом расстоянии от оптической оси и соответствующих ходу реальных физических лучей — нормалей к волновым фронтам. Расчет хода действительных лучей составляет значительную часть (от 30 % до 90 %) всей работы по проектированию оптических систем, при этом многократно повторяется одна и та же процедура — расчет хода луча через одну поверхность. Количество обращений к ней в процессе проектирования одной оптической системы достигает 10 . Очевидно, что от скорости выполнения этой процедуры зависят общие затраты времени на проектирование. Очень часто быстродействие различных ЭВМ, применяемых для оптических расчетов, оценивают не по количеству операций, а по количеству действительных лучей, которое можно рассчитать в секунду через одну поверхность. [c.81] Формулы для расчета лучей через оптическую систему известны с 1857 г. из работ И. Пецваля. Различные модификации этих формул были ориентированы на выполнение человеком и основывались на использовании логарифмических и тригонометрических таблиц. [c.82] положенные в основу этих формул, были сформулированы советским оптиком И. В. Лебедевым в работе [17] еще в 1938 г., но ввиду отсутствия в то время ЭВМ не получили распространения. Аналогичные формулы были предложены позже американскими оптиками М. Герцбергером [6] и Д. Федером [39, 40, 42] последние получили наибольшее распространение и известны под названием формул Федера. [c.82] Задача расчета хода луча через к-ю поверхность заключается в определении координат s и qk луча, преломленного на этой поверхности в й-й системе Федера, по известным координатам и луча в [к — 1)-й системе Федера, а также по параметрам й-й поверхности, показателям преломления Пк г и И/, для к — 1)-й и к-и сред и параметрам взаимного расположения систем Федера (рис. 3.6). Расчет действительного луча содержит те же этапы, что и расчет нулевого луча — перенос и преломление, но им предшествуют два дополнительных этапа преобразование координат и нахождение длины луча между поверхностями. [c.83] Преобразование координат. На этом этапе мы переходим от векторов 8 -1 и qk-l ъ (к — 1)-й системе Федера к векторам 8 и qk в к-и системе данной поверхности. Содержание этого этапа зависит от класса системы по взаимному расположению поверхностей. [c.83] В центрированных системах изменяется только координата 2 вектора 8, т. е. [c.84] После того, как выполнено преобразование координат, дальнейшие действия с векторами 8 и ц производятся уже в одной й-й системе Федера и не зависят от класса оптической системы. [c.84] Решив это уравнение и найдя I, подставляем найденное значение в первое уравнение системы (3.22) и находим вектор координат точки встречи 8. [c.84] Основной проблемой, как мы видим, является решение уравнения встречи (3.23), причем методы решения определяются видом уравнения поверхности. [c.84] Третий вопрос относится к случаю, когда дискриминант сг = — ар квадратного уравнения меньше нуля и решения (3.32) не суш ествует. Очевидно, что при этом луч не пересекается с поверхностью второго порядка, как показано на рис. 3.7, б. Будем называть этот случай непопаданием луча на поверхность. [c.87] Уточнение точки встречи для поверхности высшего порядка. Для таких поверхностей уравнение (3.23) в обш,ем случае неразрешимо аналитически, поэтому при его решении необходимо применять какой-либо численный метод. Как известно, все численные методы являются итерационными процессам уточнения корня, начиная с какого-либо начального приближения. Рассмотрим, например, один из наиболее употребительных методов—метод Ньютона—Рафсона, или метод касательной. [c.87] Графически процесс Ньютона—Рафсона интерпретируется как замена реального графика функции / (/) касательной к графику в точке / , как показано на рис. 3.8. Процесс сходится тем быстрее, чем ближе начальное значение корня к искомому и чем ближе уравнение / (/) = О к линейному. [c.87] Очевидно, что одновременно с уточненным значением для точки встречи мы получаем также и уточненное значение с = необходимое затем для этапа преломления. [c.88] В качестве начального приближения проще всего взять значение, полученное из решения квадратного уравнения (3.24) без учета деформации высшего порядка. Для допуска окончания процесса вполне приемлема величина Ю —10 . Следует иметь в виду, что слишком малая величина 8/ может привести к тому, что условие (3.34) никогда не будет выполнено из-за погрешностей вычисления ЭВМ. [c.88] При реализации этого алгоритма необходимо учитывать, что в формулах (2.103), (2.104) полиномы неполные и не содержат членов нулевой, первой и второй степеней, поэтому в схеме Горнера надо принять соответствующие коэффициенты о, i, равными нулю. [c.89] Схема 3.3. иллюстрирует общий алгоритм нахождения точки встречи луча с поверхностью. [c.89] Нетрудно показать, что знак у корня должен быть положительным. Вариант, при котором О, не позволяет найти преломленный луч и соответствует полному внутреннему отражению. [c.91] Формулы (3.40)—(3.42) и составляют этап преломления в общем случае. Для поверхностей высшего порядка вектор нормали g определяется в процессе уточнения точки встречи, а для поверхностей второго порядка его нужно определить перед преломлением по формулам (2.96). Для сферы и плоскости вектор нормали имеет простой вид g = к — Ро8 его длина l g равна единице, поэтому формулы преломления могут быть упрощены т. е. [c.91] При этом вычисления вектора нормали не требуется. [c.91] Вернуться к основной статье