ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические координаты пространственной, плоской и осесимметричной задачи из "Пространственная задача математической теории пластичности " Пуанкаре (Н. Poin are) [ ], [ ] (см. также [ ], [ ]). Канонические преобразования можно эффективно анализировать с помощью производящих функций. Как было показано в [ ], [ ], уравнения для производящих функций, которые подлежат определению в плоских и осесимметричных задачах теории пластичности, обладают важными свойствами инвариантности относительно преобразований Лежандра п Ампера. [c.47] В качестве примеров расслоенного поля напряжений можно привести осесимметричную задачу и задачу о плоской деформации. Действительно, любое осесимметричное, или плоское, векторное поле является расслоенным. Если ввести цилиндрические координаты г, (/ , 2 , то слоями осесимметричного ноля п будут новерхности, образованные вращением вокруг оси симметрии ортогональных нолю п траекторий, расположенных в плоскости (/9 = 0. Слоями плоского векторного поля являются цплиндрпческпе поверхности над ортогональными линиями ноля п. [c.47] Рассмотрим тело П, часть границы А которого свободна, или на нее действует нормальная поверхностная нагрузка р(х). [c.48] Координатная система такова, что д разлагается в виде произведения ( ). Сравнивая ( ) и ( ) нри = О, получим, что = 0)а е, Не ограничивая обгцности, можно считать, что = f так как любая замена вида не изменяет слоев ноля п. [c.50] Тогда поверхности = onst криволинейной системы координат Xi = = 152,3) можно будет принять в качестве слоев векторного ноля п, причем начальные условия на новерхности А также будут удовлетворены как для п, так и для Е. [c.50] Заметим, что сформулированные условия должны иметь и важное практическое значение, поскольку они явно указывают на ситуации, когда напряженное состояние будет соответствовать ребру призмы Треска. [c.52] Можно показать, что инвариантность указанного интеграла есть достаточное условие того, что объемы образа в пространстве у, у2, ,Уа, у ъ У 2 соответствующего прообраза при отображении равны. [c.52] Для отображений двумерных областей всякое каноническое (в смысле инвариантности приведенного интеграла) отображение сохраняет площадь и обратно, если отображение сохраняет площадь, то указанный интеграл будет инвариантом отображения. [c.53] Действительно, выделим слой Л векторного ноля п. Поскольку Гауссову параметризацию поверхности А можно выбирать в достаточной мере произвольно, то выберем ее таким образом, чтобы детерминант а первой квадратичной формы поверхности Л принимал в точках поверхности заданные значения, равные где Ж2,Жз)—значения Е на слое А. [c.53] Гауссова геодезическая параметризация поверхности получается, если зафиксировать на поверхности некоторую геодезическую кривую С, затем провести через каждую ее точку ортогональную геодезическую и в качестве параметра выбрать переменную длину дуги вдоль (7, а в качестве —расстояние, измеряемое от кривой С вдоль геодезической. [c.53] Коши—Ковалевской имеет аналитическое решение, что и устанавливает существование нужной параметризации поверхности А. [c.54] Если через J обозначить определитель Якоби отображения ( ), то последнее уравнение системы ( ) эквивалентно уравнению J = 1. Таким образом, приходим к заключению, что отображение ( ) является каноническим. [c.54] Вернуться к основной статье