ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения математической теории пластичности для ребра призмы Треска из "Пространственная задача математической теории пластичности " В пространстве главных напряжений поверхность текучести, определяемая уравнением ( ), представляет собой правильную гпестигранную призму, ось которой равнонаклонена к декартовым осям этого пространства. [c.16] Кривая текучести (сечение нризмы девиаторной плоскостью (71 + (72 + (7з = 0) представляет собой правильный шестиугольник с центром в начале координат и стороной, равной у 2/ЗУ (см. рис. ). [c.17] Рассмотрим уравнения равновесия для напряженных состояний, соответствуюгцих ребру нризмы Треска. Обозначим через сг тензор напряжений 1, т, п — ортопормироваппый базис из собственных векторов тензора напряжений. [c.17] Таким образом, тензор напряжений определяется скалярным полем сгз и единичным векторным нолем п. [c.18] Следовательно, задача о равновесии тела, паиряжеппое состояние которого соответствует ребру нризмы Треска, формально статически определима (поскольку имеется ровно три уравнения для определения трех неизвестных собственного значения сгз и, нанример, двух углов, задаюгцих ориентацию единичного вектора п), если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть рассмотрены независимо от кинематических уравнений. [c.18] Термин статически определимая задача был введен Генки в 1923 г., чтобы охарактеризовать такие случаи, когда независимо от граничных условий имеется столько уравнений, сформулированных относительно напряжений, сколько неизвестных компонент напряжений. Мы используем термин формально статически определимая задача , смысл которого в точности такой же. Формальная статическая определимость еще не гарантирует того, что действительно можно определить поле напряжений (даже если граничные условия сформулированы в напряжениях), не привлекая кинематических уравнений. В тех случаях, когда это действительно удается сделать мы будем вести речь о фактической статической определимости. Различие между формальной и фактической статической определимостью было блестяще продемонстрировано Хиллом на примере формально статически определимой задачи плоского неустановившегося пластического течения если найдется линия скольжения, пересекающая дважды границу раздела упругой и пластической зон, то одних лишь уравнений в напряжениях недостаточно для их определения единственным образом. [c.18] Это уравнение в силу своего ипвариаптпого характера служит основой для всех последующих рассмотрений и оказывается исключительно удобным для геометрического исследования ноля п. [c.19] Уравнение ( ) было получено при условии, что паиряжеппое состояние соответствует ребру призмы Треска. Тем не менее удается показать, что этим же самым уравнением определяется поле напряжений в условиях пластического плоского деформированного состояния. [c.21] Уравнения равновесия жесткопластпческого тела в случае плоской деформации имеют вид (см., нанример. [c.22] В связи с тем, что характеристические нанравления сугцественно зависят от ориентации вектора п, в дальнейгпем исследовании уравнений нространственной задачи математической теории пластичности будут использоваться некоторые результаты из геометрической теории векторных полей, изложенные, нанример, в [ ], или в более раннем и полном источнике [ ], с. 177-181. [c.22] Геометрия едипичпого векторного поля п полностью описывается его иптегральпыми линиями (векторными линиями ноля). С каждой интегральной линией связан триэдр Френе (касательный вектор т = п, вектор главной нормали и, вектор бинормали /3) и два инварианта кривизна к, и кручение (7. [c.22] Вернуться к основной статье