ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние диссипативных, гироскопических и вынуждающих сил из "Теоретическая механика " Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием консервативных и диссипативных сил. Предположим, что мы нашли положение системы, в котором ее потенциальная энергия имеет изолированный минимум и которое, следовательно, является устойчивым положением равновесия при наличии одних только консервативных сил. Перенесем в это положение начало координат /-мерной системы координат и рассмотрим возмущенное движение в малой окрестности начала координат. [c.467] Следовательно, если диссипация неполная— функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической. [c.468] Полезно рассмотреть пример, приведенный в книге Уиттекера Аналитическая динамика , в котором рассматривается влияние слабого сопротивления среды на нормальные колебания системы с двумя степенями свободы. Заметим, что выбор именно двух степеней свободы позволяет выявить все главные особенности движений систем с большим числом степеней свободы и вместе с тем делает само решение достаточно прозрачным и не очень громоздким. [c.468] Мы видим, что малое сопротивление приводит к асимтотиче-скому затуханию колебаний и в первом приближении не влияет на частоты нормальных колебаний системы. Из формул (7.82) мы видим, что изменение координаты q t) представляет собой колебание конечной амплитуды с частотой со , на которое накладывае1ся колебание с частотой и и с малой амплитудой, пропорциональной b s (k=l, 2 s = l, 2) ). [c.470] Особенность гироскопических сил заключается в том, что работа их на действительных перемещениях равна нулю. Следовательно, силы не изменяют величину полной энергии и поэтому не нарушают устойчивость положения равновесия. [c.471] В некоторых случаях, когда положение равновесия неустойчиво, гироскопические силы могут стабилизировать это положение сообщить ему устойчивость) ). [c.471] Рассмотрим быстрый волчок, вращающийся вокруг вертикали спящий волчок). Если нет собственного вращения, то положение равновесия, в котором центр тяжести выше опоры, абсолютно неустойчиво. Но мы знаем из опыта, что, сообщив волчку достаточно большую угловую скорость собственного вращения, мы можем заставить его некоторое время сохранять положение, близкое к вертикальному. [c.471] Характеристическое уравнение будет уравнением четвертой степени (и + ЬцК — Л ) (и + ЬгаК — ц ) + (4у — 612) н = 0. [c.473] И Принимая во внимание знаки свободного члена и коэффициента при X в первой степени, мы придем к неравенству (7.85), которое указывает на то, что хотя бы у одного корня имеется положительная вещественная часть, т. е. что равновесие неустойчиво. Следовательно, диссипативные силы разрушают гироскопическук стабилизацию. [c.474] Обратимся теперь к постоянно действующим силам (часто их называют вынуждающими силами или постоянно действующим возмущениями). Подобные силы возникают в результате взаимодействия рассматриваемой системы с какими-либо другими системами, причем взаимодействие это рассматривается односторонне — данная система считается пассивной, а возмущающие силы — внешними ). Заметим, что если возмущающие силы никак не ограничены,, то применение уравнений первого приближения недопустимо — результат будет весьма далек от истины. [c.474] Дадим определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях. [c.474] Рассмотрим теперь малые линейные колебания при наличии возмущающих сил. [c.475] Общее решение системы дифференциальных уравнений (7.96) складывается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной. Общее решение однородной системы описывает свободные колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений — вынужденные колебания, навязанные возмущающим действием активной системы. [c.475] Таким образом, возмущенное движение будет представлять собой наложение вынужденных колебаний на собственные колебания. [c.475] Решение имеет смысл, если частота возмущающей силы р не совпадает ни с одной из собственных частот системы. При сближении частот р и (Oi амплитуда вынужденных колебаний неограниченно растет и наступает явление резонанса, для описания которого метод малых колебаний непригоден ). [c.476] Мы пришли к системе неоднородных уравнений, поэтому определитель системы А должен быть отличным от нуля. [c.476] Очевидно, что числа выражают сдвиг фазы вынужденного колебания по отношению к фазе возмуш.ающей силы. [c.477] Отметим, что невозмущенное состояние будет неустойчивым при постоянно действующих возмущениях, если частота возмущающей силы близка к одной из частот собственных нормальных колебаний системы. [c.477] Вернуться к основной статье