ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай Эйлера. Регулярная прецессия (применение метода Гамильтона — Якоби) из "Теоретическая механика " Рассмотрим движение тела с одной неподвижной точкой, предполагая, что распределение плотности по объему и форма тела могут быть любыми. Следовательно, эллипсоид инерции, центр которого совпадает с неподвижной точкой, трехосный. [c.388] Эйлер дал полное аналитическое решение задачи в случае, когда момент всех внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. В этом случае динамические уравнения Эйлера будут однородными и могут быть проинтегрированы независимо от кинематических. [c.388] Следовательно, мы имеем четыре интеграла, которые могут быть получены и из уравнений (6.64). [c.388] Обращение интеграла позволит выразить р, г через эллиптические функции Якоби. Далее, из кинематических уравнений Эйлера можно найти углы Эйлера и получить полное аналитическое решение. Для того чтобы найти определенное частное решение, нужно задать шесть постоянных фо, бо, фо, Ро, 9о, о (вместо последних трех можно задать фо, бо, фо) )- Вычисление углов Эйлера мы детально рассмотрим в более простом случае регулярной прецессии. [c.390] В прекрасном курсе Суслова [31] приведен другой прием разделения переменных в случае Эйлера. [c.390] Обратимся к качественному исследованию движения г ла с одной неподвижной точкой в случае Эйлера. Качественное исследование (геометрическая картина) дано в работе Пуансо ). [c.390] На рис. 6.7 изображены эллипсоид инерции и плоскость я, касающаяся эллипсоида в точке пересечения его поверхности с мгновенной осью —в точке О, называемой полюсом. Исследование Пуансо опирается на три вспомогательные теоремы. [c.391] Очевидно, что (6.77) есть уравнение плоскости, ортогональной к вектору G, проекции которого на главные оси инерции тела равны Ар, Bq и Сг. [c.391] Покажем, что величина угловой скорости пропорциональна расстоянию Я от неподвижной точки до полюса. [c.392] в случае Эйлера эллипсоид инерции катится (и вертится) без скольжения по неподвижной плоскости л, перпендикулярной к постоянному вектору кинетического момента. Величина мгновенной угловой скорости пропорциональна расстоянию от неподвижной точки до полюса, а проекция ее на направление кинетического момента постоянна ). [c.392] Таким образом, скорость конца вектора относительно неподвижных осей координат геометрически равна скорости относи тельно подвижных осей, скрепленных с телом. Следовательно, в разные моменты времени разные точки поверхности эллипсоида инерции совпадают с полюсом. [c.393] Геометрическое место точек О на поверхности эллипсоида инерции называется полодией (путь полюса). Геометрическое место точек плоскости я, с которыми совпадает точка О, — дией ). Геометрическое место мгновенных осей, образованное из отрезков прямых, принадлежащих телу, представляет собой конус с вершиной в неподвижной точке и называется подвижным аксоидом ( акс — ось). [c.393] Линия пересечения подвижного аксоида с поверхностью эллипсоида инерции и есть полодия. [c.393] Геометрическое место неподвижных прямых, с которыми по очереди совпадает мгновенная ось, есть также конус с вершиной в неподвижной точке, называемый неподвижным аксоидом. Гер полодия есть линия пересечения этого конуса с плоскостью я. [c.393] В каждый момент времени подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга по образующей, с которой совпадает мгновенная ось. Следовательно, подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному. [c.393] Мы получили уравнение семейства конических поверхностей (подвижных аксоидов) с общей вершиной в неподвижной точкб. [c.393] Для уяснения вида полодий удобно рассмотреть пересечение конусов (6.81) с плоскостями, перпендикулярными к главным осям инерции (рис. 6.8). [c.394] Эти плоскости пересекут эллипсоид по двум эллипсам, / и 2 (см. рис. 6.8). [c.394] ПЛОТНО заполняют поверхность эллипсоида. От начальных условий зависит, по какой из полодий будет перемещаться полюс — точка О. [c.395] Можно показать, что по своим свойствам перманентные вращения 1) и 3) резко отличаются от вращения 2). [c.395] Вернуться к основной статье