ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кинематические и динамические уравнения Эйлера для тела с одной неподвижной точкой. Кинематические уравнения Пуассона. Уравнения Лагранжа 2-го рода из "Теоретическая механика " Во многих задачах механики абсолютно твердого тела рассматривается вращательное движение тела, одна из точек которого неподвижна относительно некоторой системы отсчета. К такого рода задачам приводит, например, теория гироскопа, И в механике свободного тела в случаях, когда можно отделить вращательное движение относительно осей Кёнига от движения центра масс, мы приходим к задаче о движении тела с одной неподвижной точкой —центр масс неподвижен относительно осей Кёнига, Например, в задаче, связанной с ориентацией в пространстве искусственного небесного тела. [c.377] Проблема вращательного движения тела с одной неподвижной точкой представляет собой одну из наиболее сложных проблем механики. И даже задача о движении абсолютно твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести (без трения) — это труднейшая проблема, занимавшая умы многих великих ученых. [c.377] И динамики) ПО праву считается Эйлер — ему принадлежит вывод сковных кинематических и динамических уравнений движения ела. Эйлером дано также полное аналитическое решение задачи О движении тела с любым распределением масс в случае, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. [c.378] Результаты Эйлера опубликованы в 1758 г. [c.378] Рассмотрим углы Эйлера, которые являются удобными обоб-ш,енными координатами, и выведем кинематические уравнения Эйлера. [c.378] Введем орты в), 9j. Орт к направлен по линии узлов. [c.378] На рис. 6.5 все углы положительны. [c.378] Мы видим, что углы Эйлера действительно могут быть выбраны в качестве обобщенных координат ). [c.379] Предполагается, что все вращения положительные ). [c.380] Отметим, что в систему уравнений Пуассона не входит угол прецессии гр. [c.382] Поэтому соотношение (6.50) часто рассматривают как интеграл системы (6.49) ( тривиальный интеграл). [c.382] Следовательно, кинетическая энергия тела с одной неподвижной точкой может быть представлена в виде половины скалярного произведения мгновенной угловой скорости тела на вектор кинетического момента. [c.384] Уравнения движения тела с одной неподвижной точкой проще всего можно вывести, используя обобщение теоремы об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки. Внешняя связь допускает виртуальный поворот вокруг любой оси, проходящей через неподвижную точку поэтому мы можем записать уравнение кинетического момента в векторной форме (момент реакции, приложенной в неподвижной точке, равен нулю). [c.384] Система (6.60) представляет собой систему динамических уравнений Эйлера, правые части которых (проекции главного момента внешних сил) могут зависеть от углов Эйлера, от проекций мгновенной угловой скорости и явно от времени. [c.385] Система дифференциальных уравнений (6.60) вместе с системой кинематических уравнений (6.42) образуют систему из шести совместных дифференциальных уравнений первого порядка. В обш.ем случае все шесть уравнений нужно интегрировать совместно. Иногда системы (6.60) и (6.42) удается интегрировать раздельно. [c.385] Выведем уравнение кинетической энергии тела с одной неподвижной точкой. Это уравнение при консервативных силах и при отсутствии трения допускает интеграл энергии. Уравнение кинетической энергии можно получить из (6.60), умножая обе части первого уравнения на р, второго на 9, третьего на г и складывая их почленно. Мы же выведем его, обобщая теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. [c.386] Следовательно, сумма элементарных работ внешних сил, прило-зюенных к телу с одной неподвижной точкой, равна скалярному произведению вектора (аМ на главный момент всех сил относительно неподвижной точки. [c.386] ГИЮ как сложную функцию углов Эйлера и их производных, не подставляя выражения р, q, г ъ формулу (6.58). [c.387] Вернуться к основной статье