ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Внешние силы (массовые и поверхностные). Уравнения движения свободного тела из "Теоретическая механика " Абсолютно ттрдое тело представляет собой идеализированную модель реального тела конечный объем, заполненный неизменяемой сплошной средой ). [c.362] Для составления динамических уравнений движения тела важно знать закон распределения плотности веш,ества и установить количественные характеристики меры инертности для пространственного движения тела. [c.362] Рассмотрим тело, объем которого равен т. Пусть нам известен закон распределения плотности веш,ества р(л 1, лгз), где Х1 координаты некоторой средней точки элемента объема бт. Функция р может иметь конечные разрывы. [c.362] ЯЫМИ декартовыми координатами). Распределение моментов инерции относительно пучка осей, проходящих через какую-либо точку тела, можно охарактеризовать при помощи тензорной поверх- ости — эллипсоида инерции. [c.363] Обратимся к выводу закона распределения моментов инерции. Пусть дано тело с известным распределением плотности. Объем тела обозначим через т. В некоторой точке тела О поместим начало координат, обозначив оси через Хъ Хг, Хз (рис. 6.1). [c.363] Если тело движется относительно осей Хи лгз — координаты точек зависят от времени, то время / войдет в интеграл (6,3) в качестве параметра. Следовательно, моменты инерции будут функциями времени. Если же тело неподвижно относительно системы ДГ1, ДГ2, Хз, то Удд будет величиной постоянной, хотя -сами оси координат могут быть подвижными — в этом случае оси чсвморожень в тело и движутся вместе с ним ). [c.363] Здесь /й — компоненты тензора инерции в новой системе координат. [c.366] Компоненты симметричного тензора второго ранга при ортогональных преобразованиях декартовых координат преобразуются по тем же формулам, что и произведения координат. [c.366] Уравнение (6.14) есть уравнение центральной поверхности второго порядка — тензорной поверхности — и вместе с тем уравнение геометрического места точек Р, расположенных на различных осях, проходящих через начало координат ), Очевидно, что уравнение (6,14) определяет поверхность с точностью до преобразования подобия. [c.366] Момент инерции относительно оси Д обратно пропорционален квадрату расстояния от центра до поверхности (6.14). [c.367] Очевидно, что если рассматриваемая модель реального тела невырожденная, то для всех направлений Удд 0, следовательно, все точки поверхности находятся на конечном расстоянии от центра. Поэтому тензорной поверхностью будет эллипсоид. В зависимости от распределения плотности и от формы тела эллипсоид будет либо трехосным, либо эллипсоидом вращения, либо сферой. [c.367] Если рассматривать вырожденную модель реального тела, например бесконечно тонкий стержень длины I, то момент инерции относительно оси, совпадающей со стержнем, будет равен нулю и расстояние до соответствующей точки тензорной поверхности обратится в бесконечность. В этом случае тензорная поверхность представляет собой круглый цилиндр с осью, направленной по стержню. [c.367] Для составления динамических уравнений удобнее выбирать оси XI, Хг, Хз жестко связанными с телом ( вмороженными в тело). Компоненты тензора инерции У / при таком выборе будут постоянными. [c.367] Среди множества осей координат, связанных с телом, самыми удобными являются главные оси инерции. Как известно из аналитической геометрии, существуют три (в случае трехосного эллипсоида только три) взаимно перпендикулярные прямые, ортогональные к поверхности второго порядка в точках пересечения с ней. Направления этих прямых называются главными направлениями. Если путем поворота придать осям координат главные направления, т. е. перейти к главным осям инерции, то уравнение (6.16) упрощается— обратятся в нуль все коэффициенты с различными индексами. [c.367] Напомним без вывода теорему Гюйгенса —Штейнера. [c.368] Пусть известен момент инерции тела Удд относительно оси Д, проходящей через центр масс. Тогда момент инерции относительно оси А, параллельной оси Д, будет равен моменту инерции относительно оси Д сложенному с произведением массы на квадрат расстояния между осями, т. е. [c.368] Абсолютно твердое тело мы рассматриваем как сплошную недеформируемую среду. Поэтому, так же как в механике сплошной деформируемой среды, разделим все активные силы на массовые и поверхностные с тем отличием, что будем иметь дело только с внешними силами. Принимая гипотезу неизменяемости тела, мы тем самым теряем право рассматривать силы взаимодействия между частицами тела. Мы предпологаем только, что силы взаимодействия — внутренние силы — достаточны для того, чтобы деформации были пренебрежимо малыми ). Если в каких-либо конкретных условиях деформации становятся заметными и, пренебрежение ими исказит описание явления, то надо обращаться к более совершенной модели —к сплошной деформируемой среде. [c.369] Вектор / имеет размерность ускорения и может зависеть от координат точки, от проекций скорости и от времени. Примерами массовых сил являются силы тяготения, силы инерции в случаях, когда рассматривается движение тела относительно неинерциальной системы отсчета и силы электромагнитного происхождения. [c.369] Интегрирование распределенных по объему векторов, как и вычисление конечных сумм в механике материальных точек, основано на принципе независимости действия сил и, следовательно, на сложении сил по правилу параллелограмма. [c.369] Здесь Р — напряжение (индекс п указывает направление нормали, внешней по отношению к объему т), ба —элемент поверхности. Угол между вектором Р и внешней нормалью к поверхности может быть любым. [c.370] Вернуться к основной статье