ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи на применение метода Гамильтона—Якоби из "Теоретическая механика " Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамильтона — Якоби. Ограничимся обобщенно-консервативными системами-системами, функция Гамильтона которых не зависит явно от времени и, следовательно, уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. [c.330] Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331] Обратимся к решению задач. [c.331] Число степеней свободы здесь равно трем. В качестве обобщенных координат примем декартовы, полагая = ( = 1, 2, 3). Массу точки положим равной единице (/п=1). [c.332] Дальнейший ход решения зависит от того, какие из четырех постоянных мы будем считать независимыми — число независимых постоянных здесь равно трем. [c.332] Формулы (5.167) и (5.168) представляют собой общее решение канонических уравнений, содержащее шесть произвольных постоянных, в явной форме (сами уравнения мы не выписывали). [c.333] Если мы хотим получить отдельно пространственные интегралы, не содержащие времени, то 4 нужно считать независимой постоянной, а одну из постоянных ос,, а , Оз — зависимой. [c.334] Переменные разделились бы и в случае, когда частоты колебаний разных координат были бы различные, но в качестве траекторий мы получили бы фигуры Лиссажу. [c.335] Заметим, что задача о движении электрона в кулоновском поле решается так же, как и задача Кеплера. Отличие заключается в том, что в задаче о движении электрона множитель 7 может быть не только положительным. [c.335] Если вычислить гессиан, то можно показать, что (5.180) есть действительно полный интеграл. [c.336] Интеграл (5.182) позволяет найти зависимость полярного радиуса г от времени. Интегралы (5.183) и (5.184) времени не содержат — это пространственные, или геометрические, интегралы. Обратимся к исследованию этих интегралов. [c.337] Обратимся к выяснению смысла канонических постоянных в геометрических интегралах. На рис. 5.4 изображена эллиптическая орбита (для определенности). Буквой М отмечена движущаяся материальная точка, отрезок ОМ = г есть полярный радиус, углы 6 и ф определяют положение проекции точки М на сфере единичного радиуса. [c.338] Очевидно, угол t есть угол наклона плоскости орбиты к плоскости (j i, Хг). Постоянная а, пропорциональная величине У f + i + l, равна полному моменту импульса (вектор момента импульса перпендикулярен плоскости орбиты). Постоянная з —проекции момента импульса на ось Xg. Так как при 9= — Рз угол ф равен нулю, то (—Рз) есть долгота восходящего узла. Из формулы (5.187) видно, что (—Рг) есть долгота перигелия ). [c.339] Задача Кеплера относится к такого рода задачам, где разделение переменных можно выполнить не только в сферических координатах, но и в параболических. Это связано с так называемым вырождением движения — пространственное дзижение вырождается в движение по коническому сечению. Первая степень вырождения свойственна всем случаям движения под действием центральных сил —все они плоские. [c.339] Корню Si соответствуют параболоиды, обращенные вершинам в сторону отрицательных значений Хз, корню Sj —в сторону положительных. Пересечение параболоидов плоскостью 9= onst дает два семейства софокусных парабол, причем параболические координаты Sx и Sj представляют собой значение параметров парабол, пересекающихся в рассматриваемой точке плоскости. [c.340] Переменные и, V изменяются от нуля до бесконечности, угол 0 —от нуля до 2я. [c.340] Символы I, и т. д. означают, как обычно, переход к каноническим переменным. [c.343] Обратимся к геометрическому интегралу 0С2 Г -.— = фР2. [c.344] Траекторию электрона можно приближенно представить в виде вращающегося эллипса (напомним, что постоянная энергия Оз отрицательна). [c.345] Задачу решаем приближенно, предполагая, что электрон движется в слабом магнитном поле, и отбрасывая член, содержащий hi. [c.346] Вернуться к основной статье