ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Действие с переменным пределом. Теорема Лиувилля из "Теоретическая механика " Функция 5 называется главной функцией Гамильтона. При фиксированном верхнем пределе главная функция превращается в характеристическую двухточечную функцию, упомянутую в 1. [c.327] действие с переменным пределом, вычисленное вдоль интегральной кривой (экстремали), можно рассматривать как функцию времени 1, начальных и текущих значений обобщенных координат. [c.328] Между начальным состоянием движения системы и состоянием ее движения в момент времени / должно быть взаимно однозначное соответствие — соответствие между изображающими точками в расширенном фазовом пространстве. Поэтому на траектории изображающей точки в расширенном пространстве конфигураций накладываются определенные требования поле траекторий (поле экстремалей) должно быть таким, чтобы через каждую точку поля проходила одна и только одна траектория, и если есть точка, через которую проходит пучок траекторий (общее значение и различные о), то, по крайней мере в некоторой конечной области, эта точка должна быть единственной — поле должно быть центральным [16]. [c.328] Следовательно, переход от до, Ро к t), р (О действительно представляет собой каноническое преобразование (унивалентное, свободное), производящая функция которого равна 5. [c.329] Как мы видим, это есть уравнение Гамильтона —Якоби, а функция S (i, д, 7 ) —полный интеграл (в силу (5.152)). [c.329] движению голономной системы в потенциальном поле сил отвечает каноническое преобразование переменных дар переход от о, Ро к g t), p t). [c.329] Постоянные сх и фигурирующие в методе Гамильтона — Якоби, называются каноническими. Очевидно, что и постоянные 7,0 Pioначальные данные Коши —также нужно отнести к каноническим посгоянным. [c.329] Полученный результат позволяет доказать теорему Лиувилля, важную для приложений, в частности для статистической физики. [c.330] Рассмотрим элемент объема фазового пространства, сплошь заполненный изображаюш.ими точками. Так как якобиан преобразования равен единице, то величина объема с течением времени не изменится — может измениться лишь его форма. [c.330] Следовательно, фазовая жидкость несжимаема. [c.330] Равенство (5.156) есть запись теоремы Лиувилля объем любой части фазового пространства является инвариантом — он сохраняется при преобразовании координат в силу канонических уравнений. [c.330] Вернуться к основной статье