ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Канонические преобразования. Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования из "Теоретическая механика " Уравнения Гамильтона обладают замечательными свойствами они сохраняют свой вид при таких преобразованиях переменных, которые уже не являются точечными. В этом заключается одно из существенных отличий уравнений Гамильтона от уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.304] Уравнения Лагранжа сохраняют свой вид (ковариантны) при точечных преобразованиях переменных, тогда как уравнения Гамильтона допускают значительно более широкий класс преобразований —каноничес/с преобразсвания. [c.304] Формулы канонического преобразования были впервые получены Якоби он вывел эти формулы попутно, применяя метод вариации канонических постоянных при выводе канонических уравнений для возмущений ). В последующее время теория канонических преобразований была широко развита в работах многих авторов. [c.304] Заметим, что производные по времени от входят в уравнения (5.77), так же как обобщенные скорости в исходные уравнения, однако в силу формул (5.76) уже не являются обобщенными координатами Q, утрачивают смысл переменных, определяющих конфигурацию системы (позиционных координат), так как зависят не только от д, но и от р. [c.304] Через Ль 2 Дз 4 обозначены миноры определителя Д. Если все Л отличны от нуля, то преобразование будем называть свободным. При свободном преобразовании за независимые переменные-переменные, от которых будет зависеть так называемая производящая функция, — могут быть взяты переменные д и Q либо д и Р, либо р и Q или, наконец, р и Р. Заметим, что в совокупность независимых переменных обязательно должны входить и новые и старые переменные ). Точечное преобразование, при котором Qi = Fi g, ) является, очевидно, свободным — переменные д и связаны между собой и, кроме того, Дх = 0. [c.305] Несвободные канонические преобразования, в которых на переменные наложены дополнительные связи, например, связаны между собой д Q, рассмотрены в [33]. В настоящем курсе мы ограничимся лишь свободными каноническими преобразованиями. [c.305] Выведем выражение для производящей функции и сформулируем необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. [c.305] Здесь а и Р —постоянные интегрирования. [c.306] Через с обозначена отличная от нуля постоянная, определяющая так называемую валентность преобразования. Если с—, то преобразование называется унивалентным. [c.306] Функция V (1, д, Q, с) представляег собой некоторое обобщение двухточечной функции Гамильтона и, как мы увидим, играет решающую роль в канонических преобразованиях. Называется эта функция производящей (т. е. функцией, которая производит преобразование) — это значит, что, задавая произвольно функцию V, мы получаем формулы канонического преобразования. Наоборот, задавая желаемое преобразование, можно найти функцию V (последнее гораздо труднее). [c.306] Условие каноничности преобразования, записанное в форме (5.92), не содержит новой и старой функции Гамильтона, поэтому его можно назвать универсальным. Если иметь в виду систему с заданной функцией Гамильтона, то условие каноничности преобразования можно записать и в виде (5.93). [c.308] Условие каноничности преобразования (5.92) или (5.93) мы получили, предположив, что сохраняется форма канонических уравнений, т. е. доказали его необходимость. Покажем теперь,, что это условие достаточно (здесь удобна форма (5,93)). [c.309] Достаточность условия каноничности преобразования доказана. [c.309] Заметим, что так как условие каноничности преобразование в виде (5.92) не содержит функции Гамильтона, то это означает,. [c.309] Покажем, что можно указать еще три вида формул канонического преобразования. [c.310] Из приведенных выше четырех форм свободных канонических преобразований чаще всего используется первая, которую мьь будем считать основной. [c.311] Проверяем, выполняется ли условие каноничности, и находнм производящую функцию как функцию д п Q. [c.312] Следовательно, Q будет циклической координатой. [c.312] Вернуться к основной статье