ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальные уравнения. снижения свободной материальной точки из "Теоретическая механика " Рассмотрим движение свободной материальной точки относительно инерциальной системы отсчета положение точки будем определять декартовыми координатами. [c.75] Решение задач, в которых требуется исследовать движение материальной точки, если известна сила, связано с интегрированием системы дифференциальных уравнений. Для получения частного решения необходимо задать координаты точки и проекции ее скорости в некоторый (начальный) момент времени. [c.76] Уравнение (2.4) описывает изменение во времени импульса точки. Во многих случаях удобнее пользоваться другими формами уравнений движения. Мы рассмотрим здесь еще две формы уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии. [c.76] Следовательно, производная по времени от момента импульса геометрически равна моменту силы (моменты векторов берутся относительно неподвижного начала). Очевидно, что уравнение (2.12) не сводится к (2.4) ). [c.76] Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. [c.77] В теории дифференциальных уравнений первым интегралом системы уравнений называется функция координат, их производных и времени, которая обращается в постоянную в силу уравнений. Иначе говоря, полная производная этой функции по времени обращается в нуль в силу уравнений (заметим, что второе определение удобнее). [c.77] Интеграл энергии мы получим из (2.14), если правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции — потенциала силового поля ). [c.77] Мы пришли к так называемому интегралу энергии (закону сохранения механической энергии) если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной. Сумма кинетической и потенциальной энергий называется механической энергией, ее постоянное значение обозначено через Eq. Чтобы вычислить надо задать начальные значения координат точки и ее скорость. Если силовое поле потенциально и стационарно и, следовательно, если сохраняется (консервируется) механическая энергия свободной материальной точки, то такое поле называется консервативным. [c.78] Заметим, что можно рассматривать движение точки и в нестационарных силовых полях. Если в каждый момент времени го1/= = 0, то функция П будет существовать, но она будет явно зависеть от времени, и при вычислении интегралов вида (2.21) или интегралов по замкнутому контуру — циркуляции вектора Р —время нужно рассматривать как фиксированный параметр. [c.79] Выбор метода интегрирования уравнений движения свободной материальной точки определяется характером силового поля. Укажем на некоторые, важные для приложений, частные виды силовых полей. [c.79] Аналогичные выражения получим для у и г. [c.79] Вернуться к основной статье