ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Прямой вывод формулы Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твердого тела из "Теоретическая механика " Приведем вывод формулы Эйлера, предполагая, что тело абсолютно твердое, и что, следовательно, справедливы уравнения (1.52), связывающие координаты любых двух точек тела. Формулу Эйлера выведем для тела конечных размеров, минуя формулу Коши — Гельмгольца. [c.40] Очевидно, что есть скорость точки О. Обозначим ее через V. [c.40] Полученные формулы выражают закон распределения скоростей точек тела во вращательном движении в виде линейных функций координат точек. [c.41] Заметим, что можно было бы за основные коэффициенты принять 0x2, О23. Озх, но тогда в правых частях формул (1.67) изменились бы знаки. [c.42] Формула, к которой мы пришли, решает поставленную задачу она описывает распределение скоростей точек проще и нагляднее по сравнению с формулой (1.62). [c.42] В рассматриваемый момент времени вектор . Скорости этих точек равны скорости начала подвижной системы координат, т. е. вектору V . [c.43] Это и есть формула Эйлера в краткой векторной записи. [c.43] Если мы разложим скорость начала подвижной системы на две составляющих VI и из которых первая направлена вдоль мгновенной оси, а вторая перпендикулярна к ней, то очевидно, что V не будет зависеть от выбора точки О. Составляющая же ф х будет изменяться при переходе к новому началу О , и под-ходящим выбором начала О подвижной системы координат мы сможем обратить эту составляющую в нуль. Тогда распределение скоростей точек тела в каждый момент времени будет соответствовать мгновенному винтовому движению скорость каждой точк тела будет геометрически складываться из скорости скольжения вдоль оси, проходящей через точку О (теперь это — мгновенная винтовая ось), и скорости вращательного движения вокруг этой оси ). [c.44] Мы пришли к формулам, совпадаюш.им с формулами (1.47) с той разницей, что формулы (1.47) изображают проекции вектора о) на неподвижные оси, тогда как формулы (1.75) дают выражения проекций (д на подвижные оси. Но в 6 было замечено, что выражение rot в различных ортогональных координатах имеет один и тот же вид. Кроме того, в формулах (1.75) фигурируют частные производные по координатам от проекций скорости w — скорости точки тела во враш,ательном движении относительно системы Ух, i/2, Уз, а в формулах (1.47) —производные от проекций скорости V относительно системы Х2у Хз. Скорость v равна сумме скоростей w и скорости подвижного начала v но скорость v в каждый момент времени одинакова для всех точек тела, поэтому частные производные от v по координатам (и по координатам и по координатам Еу) равны нулю. [c.45] Вернуться к основной статье