ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред " Широкие возможности использования метода конечных элементов обусловлены тем, что можно подробно исследовать аппроксимацию заданной функции Р (X) в пределах некоторой малой подобласти области ее определения независимо от поведения функции в других подобластях. Это, например, означает, что при использовании концепции конечного элемента для исследования поведения твердого тела можно выделить типичный конечный элемент тела, аппроксимировать различные поля локально на элементе и полностью описать поведение элемента с помощью этих аппроксимаций независимо от его положения в модели, характера связей с примыкающими к нему элементами и поведения других элементов модели. После получения локальных аппроксимацион-ных полей на типичных конечных элементах полная модель поля получается с помощью отображений (7.17) и (7.19). [c.51] Для уяснения основных положений метода рассмотрим несколько простых примеров. [c.51] Обозначим узлы элемента (1) цифрами 1, 2, 3 и 4 (N =1 — N1 = 4), а узлы элемента (2) цифрами от 1 до 5 (Ne=2 = N2 — 5). Части функции Ф (X), определенные на элементах (1) и (2), обозначим через фл, (хцу) и Ф(2) (х(2)) соответственно (не путать с функциями, введенными формулами (7.19) и (7.20)). Для простоты будем считать, что системы локальных координат Х(1) и Х(2) совпадают с системой глобальных координат X, т. е. локальные функции можно обозначать просто через ф(1, (х) и ф(а, (х), а глобальную функцию — через Ф (X) или Ф (х). [c.53] Нетрудно убедиться, что Ф (х) совпадает с Ф (X) в семи узловых точках Н и что в остальных точках Ф (X) достаточно хорошо аппроксимируется функцией Ф (х). По определению функции г з (х) тождественно равны нулю в элементе (2), а (х) — в элементе (1). Например, если точка х элемента (1) находится вблизи узла X области то можно положить (х) = О и заметить, что (х), (х) и (х) О, а (х) 1 при х X . Если же точка х принадлежит элементу (2), то (х) = О и (х), г з 2 (х), (х) и г ) 2, (х) О, а г ) 2) (х) 1 при х Х . [c.54] Подобные же соотношения справедливы и для других граничных точек. [c.54] Отсюда следует, что наша аппроксимация Ф (х) непрерывна в узловых точках 2 и 6 межэлементной границы 26. В дальнейшем мы будем требовать, чтобы форма элементов и свойства функций г )к (х) обеспечивали непрерывность Ф (х) во всех точках межэлементных границ. [c.55] Пример 7.2. Преобразования локальных координат. Как видно из предыдущего примера, введение системы локальных координат часто является лишь формальностью, призванной подчеркнуть тот факт, что при построении локальных аппроксимаций / е) (х) отдельные конечные элементы рассматриваются независимо от других. Часто модели можно строить, используя одни и те же координаты и в глобальных и во всех локальных системах, и вся разница между ними — формальная разница в обозначении локальных и глобальных узловых точек. Однако в некоторых случаях использование систем локальных координат, отличных от глобальных, имеет существенное значение. Как правило, эти случаи характеризуются тем, что окончательная конечноэлементная модель представляет собой ансамбль конечных элементов некоторой размерности, вло)аднных в пространство более высокой размерности, скажем локальные поля/(е) (х) определены в пространстве размерности ге, а окончательная модель — в пространстве размерности А ге. Одним из примеров такого типа является трехмерная ферма, состоящая из брусьев, локальное поведение которых может быть описано одномерными функциями. Локальные системы используются также в тех случаях, когда ориентация или расположение элемента в связанной модели либо его форма таковы, что введение локальных систем облегчает построение функций (х). [c.55] Рассмотрим простой пример области Я, состоящей из нескольких плоских фигур, которые, будучи связанными вместе, образуют кусочно-гладкую поверхность в трехмерном пространстве. Предполагается, что каждая плоская фигура имеет относительно простую форму многоугольника (например, треугольника, прямоугольника, шестиугольника). Удобно каждую такую плоскую фигуру считать конечным элементом, принять = Я и выбрать в качестве узловых точек элементов вершины многоугольников. Во многих приложениях с помощью подходящего набора таких плоских конечных элементов может представляться какая-либо гладкая поверхность, но сейчас это для нас несущественно. [c.55] В соответствии с (7.35) для вычисления приближенного значения поля в какой-либо точке, не являющейся узлоМ необходимо указать элемент, которому принадлежит эта точка и ее локальные координаты в системе х еу. Глобальные координаты X служат для идентификации положения элементов и узлов в модели используются для ее связывания, а в описании аппроксимирующего поля Ф (х) (формула (7.35)) не участвуют. Однако в некоторых случаях удобно рассматривать все в одной общей системе координат, за которую естественнее всего выбрать систему глобальных координат Х . [c.56] Здесь — локальные координаты узла N элемента е (х = 0). [c.57] 41) вместо ж еДможно написать Х если известно, что функции г 5у (х отличны от нуля лишь в соответствующем конечном элементе. [c.57] НЫХ декартовых координатах. Однако метод конечных элементов применим практически к любым векторным или тензорным полям, определенным как на эвклидовых, так и на неэвклидовых пространствах в произвольных криволинейных координатах. [c.58] Отметим, что опять, используя вместо текущих значений g( ,j (х), g e) (х их значения в узлах g(N)i и g(jv)(e). даваемые формулами (7.52), можно построить другую аппроксимацию типа (7.50). [c.60] Изучив основные свойства конечноэлементных моделей непрерывных функций, перейдем к вопросу построения конечноэлементных представлений высшего порядка. [c.61] Рассмотрим опять непрерывную функцию Р (X) = Р (Х , Х ,. .. [c.61] Здесь бм, бл, м — символы Кронекера, з =0,1, 2,. . . . . ., т 1 2 . . . г /1 /2 к, 2, , Л, /2, , /г == 1, 2,. . ., А /с — размерность пространства г т М, N = 1, 2,. . ., Не. [c.62] Указанные свойства обеспечивают совпадение значений функции (х) и ее частных производных по x до порядка т включительно со значениями (х) и ее соответствующих производных во всех узловых точках элемента е. [c.63] Рассмотрим кратко некоторые примеры конечноэлементных представлений высшего порядка. [c.64] Одним из самых фундаментальных свойств конечноэлементных аппроксимаций является то, что рассмотренные ранее интерполяционные функции г 51у (х) образуют базис некоторого конечномерного подпространства пространства которому принадлежит аппроксимируемая функция Р (X). В случае когда на задано скалярное произведение, функции -ф (х), как правило, не ортогональны, и это наводит на мысль о построении другой системы функций, которые называются сопряженно-аппроксимационными функциями. В этом параграфе подробно рассматривается понятие сопряженно-аппроксимационной функции и показывается, что эти функции обладают некоторыми определенными свойствами, основополагающими для методов аппроксимации вообще и метода конечных элементов в частности. [c.66] Вернуться к основной статье