ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые предварительные сведения из математики из "Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред " Изложим кратко ряд понятий и фактов 2), полезных при исследовании свойств общих конечноэлементных моделей непрерывных полей. [c.38] Пусть — подмножество J8. Элемент Ь g J8 называется точкой накопления или предельной точкой множества если в любой окрестности Ъ (т. е. в любом открытом множестве, содержащем Ъ) имеется точка множества отличная от Ъ. Иначе говоря, если Ъ — точка накопления для то любая окрестность Ъ содержит бесконечное число точек множества Множество, состоящее из и всех его точек накопления, называется замыканием Если и J8 — два таких множества, что замыкание содержит в себе J8, то говорят, что плотно в 8. Если же замыкание равно то говорят, что всюду плотно в J8. [c.38] Если а Ь = Ь а, то группа называется абелевой (или коммутативной). [c.39] В дальнейшем, если только не будет сделано специальной оговорки, под К понимается поле действительных чисел. [c.39] Максимальное число к линейно независимых элементов векторного пространства 1 называется его размерностью. Для обозначения пространства размерности к используется символ Базисом пространства размерности к называется всякое множество к линейно независимых элементов этого пространства. Любой вектор а является линейной комбинацией элементов базиса. [c.39] Подмножество 8 линейного пространства с операциями векторного сложения и скалярного умножения называется подпространством в том и только в том случае, когда оно само является линейным пространством. Если и. а — подпространства линейного пространства то суммой и обозначаемой через 3 , называется множество элементов вида 8-1-4, где 8 6 3 . Пересечение П подпространств и Г — это в соответствии с общим определением множество элементов, принадлежащих одновременно обоим подпространствам. Как Э , так являются подпространствами Если + Э = У° в. Г 3 = 01 где 0 — пустое множество, то называется прямой суммой % и 3 это. записывается так д . [c.39] Линейное пространство, в котором определена норма, называется нормированным линейным пространством. Понятие нормы является обобщением обьганого понятия длины вектора. [c.40] Пусть и — банаховы пространства, Z — произвольное подпространство JSi и Л — отображение (функция) Z в В этом случае А обычно называют оператором. Говорят, что множество Z есть область определения оператора А, а множество всех элементов из вида Л а, где а g Z,— образ оператора А. [c.40] Можно показать, что совокупность всех линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве М сама образует банахово пространство, если некоторым естественным образом ввести норму оператора. [c.40] Среди операторов особый интерес представляют функционалы. Оператор Ф называется функционалом, если пространство его значений является множеством действительных чисел. Таким образом, линейный функционал — это оператор Ф (а) = X, где а и Я — действительное (или комплексное) число, такой, что Ф (Яа) = ЯФ (а) и Ф (а + Ь) = Ф (а) + Ф (Ь). Совокупность всех ограниченных линейных функционалов на банаховом пространстве сама является банаховым пространством при соответствующем определении нормы функционала, которое обозначается через и называется сопряженным к пространству J8. [c.40] Понятие скалярного произведения позволяет ввести понятия ортогональности (элемент а ортогонален элементу Ь, если (а, Ь) = 0) и длины ( а = = (а, а)). Отсюда следует, что каждое пространство со скалярным произведением является нормированным линейным пространством. Бесконечномерное банахово пространство со скалярным произведением, полное по норме II а II = называется гильбертовым прост,ранством. [c.41] Пол агая й X, ) = X — или й (X, ) = У (X - , X — ), нетрудно видеть, что каждое нормированное линейное пространство, а следовательно, и каждое пространство со скалярным произведением является метрическим пространством. Метрическое пространство аМ называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество. [c.41] Пусть и, 3 — непустые подмножества Если и не имеют общих элементов, т. е. пересечение Г) Лг пусто, то и называются непересекающимися (или дизъюнктными). Множество с называется несвязным, если (5° = и Лъ где и — непустые непересекающиеся множества. В противном случае оао называется связным. [c.42] Мы будем в основном рассматривать аппроксимации различных непрерывных функций, определенных на компактных подмножествах А-мерного точечного пространства Более точно, пусть 3 — некоторое множество элементов Т, и, V,. . в значительной мере произвольных. Почти во всех наших приложениях величины Т будут действительными или комплексными числами, векторами или тензорами заданного порядка. Нами будут рассматриваться отображения F , которые ставят в соответствие каждой точке X некоторого компактного подмножества пространства элемент 1( 3. Для обозначения таких функций мы будем использовать запись Т = Р (X), где Т — значение функции в точке X. Область есть область определения функции Р (X). Предполагается, что Р непрерывна на М, т. е. для каждой точки Хо принадлежащей Р (X) Р (Хо) при г (X, Хо) 0. Отсюда следует, что образ Р Ц) тоже компактен. Если при этом Р — взаимно однозначная функция, то существует Р 1 и Р называют тогда топологическим отображением или гомеоморфизмом. [c.43] Вернуться к основной статье