ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение Е. Разветвленные накрытия и орбифолды из "голоморфная динамика " Многие рассуждения, приведенные в этих заметках, проходят только в комплексной размерности один. В действительности, уже в двумерном случае некоторые основные положения одномерной голоморфной динамики полностью разваливаются. [c.283] Рассмотрим теперь отображение Хенона F С , как в формуле (0 1), с собственными значениями, удовлетворяющими условиям леммы D.I. Пусть U — область притяжения начала координат. Утверждается, что ф продолжается до глобального диффеоморфизма Ф С . Действительно, для каждого (ж, у) G положим Ф(ж, у) = = = L о фо F° x, у). Если п достаточно велико, то F x, у) близко к началу координат, и потому это выражение определено. Аналогично, Ф (и, v) = F о ф о L° u, v) корректно определено при больших п. Отсюда следует, что Ф и обратное к нему отображение являются голоморфными диффеоморфизмами. [c.285] Очевидно, что оба эти явления в случае одной комплексной переменной невозможны. Открытые множества, удовлетворяющие условию (1), называются областями Бибербаха - Фату, впервые они были построены Фату с помощью простых рассуждений, подобных приведенным здесь. Позднее, с помощью намного более сложных построений независимым образом они были получены Бибербахом. [c.285] Определение. Голоморфное отображение р 3 8 римановых поверхностей будет называться разветвленным накрывающим отображением, если каждая точка 5 имеет такую связную окрестность II, что каждая компонента связности р 11) отображается на II посредством собственного отображения. [c.286] Разветвленное накрытие называется регулярным или нормальным, если существует такая группа Г конформных автоморфизмов Б, что образы точек гх, г2 5 совпадают в 5 тогда и только тогда, когда существует такой конформный автоморфизм 7 Г, что 7(2 1) = г2-В этом случае поверхность 8 можно отождествить с фактор-многообра-зием 8 /Т. В действительности, нетрудно проверить, что конформная структура такого фактор-многообразия определяется однозначно. Эта группа Г называется группой накрывающих преобразований накрытия. [c.287] Регулярные разветвленные накрывающие отображения обладают рядом специфических свойств. Например, любая точка разветвления является изолированной, и значит множество всех точек разветвления является дискретным подмножеством 5. Кроме того, индекс ветвления п г) зависит только от образа / г), то есть п г1) = п г2), как только / гг) = /( г). Значит, можно определить весовую функцию V 8 1, 2, 3,. .. , полагая г/(го) равной общему значению п г) для всех 2 из прообраза / (го). По определению, г/(го) 2, если го — точка разветвления, и г/(го) = 1 в противном случае. [c.287] Определение. Будем называть орбифолдом пару 8, и), состоящую из римановой поверхности 8 и весовой функции 1 5 — 1,2,3. , принимающей значение г/(го) = 1 всюду, за исключением множества изолированных точек. [c.287] Определение. Если поверхность 8 односвязна, то регулярное разветвленное накрытие р 8 8 с весовой функцией V будет называться универсальным накрытием орбифолда (5, у). Будем использовать для этого универсального разветвленного накрытия следующее обозначение 8 8, у). Ассоциированная группа Г накрывающих преобразований называется фундаментальной группой ж 8, V) орбифолда. [c.287] Заметим, что в случае бесконечного числа точек разветвления следует положить х( 5, г ) = —оо. Аналогично, если 5 — связная поверхность бесконечного типа, то, по определению, х( 5, /у) = х(5 ) = —оо. [c.288] В частности, если степень универсального накрытия (Б, и) равна (1, то х( и) = х(5, и)(1. [c.289] Фундаментальная группа и эйлерова характеристика связаны между собой следующим образом. [c.289] Эйлерова характеристика и геометрия 8,у связаны следующим образом. [c.289] В большинстве случаев эйлерова характеристика х 8, 1 ) положительна, отрицательна либо равна нулю в зависимости от того, является ли универсальное накрытие 8 конформно сферическим, гиперболическим или евклидовым. Исключениями являются только С или Л с не более, чем одной точкой разветвления, либо кольцо, либо проколотый диск без точек разветвления. [c.289] Пример. Если 5 = С с четырьмя точками разветвления и с индексами г (го ) = 2, то описанный в 7 тор Т задает регулярное двулистное накрытие над 8. Его универсальное накрытие Т = С совпадает с универсальным накрытием (С, V). В этом случае х(С, 1 ) = 0. [c.289] Замечание. Существует сравнительно мало случаев, для которых х( 5, г ) 0. В действительности, все эти случаи могут быть перечислены явным образом. Неразветвленные случаи очень хорошо известны, а именно сфера, плоскость или диск, когда % 0 проколотая плоскость, проколотый диск или бесконечные семейства, состоящие из колец и торов, когда х = 0. [c.290] Если х(С, V) = О, то возможны следующие значения индексов разветвления (2, 4, 4), (2, 3, 6), (3, 3, 3) или (2, 2, 2, 2). Они соответствуют группам автоморфизмов замощения С квадратами, равносторонними треугольниками, раскрашенными в два цвета равносторонними треугольниками и параллелограммами соответственно. Заметим, что в случае замощения параллелограммами различные возможные формы этих параллелограммов описываются одним комплексным параметром, соответствующим двойному отношению четырех точек разветвления. [c.290] Аналогично, если х(С, V) или х(В, ь ) строго положительна, то должно выполняться неравенство г 1 если же х(С, V) или х(В, ь ) равна нулю, то г = 2, и значения индексов разветвления равны (2, 2). Это завершает перечень возможных случаев. [c.290] Задача Е-1. Покажите, что в случае 5 = С с двумя точками разветвления г (1) = 1/(2) = 2 отображение г со8(2тг2 ) задает универсальное накрытие С — (С, и). Покажите, что эйлерова характеристика х(С, V) равна нулю, а фундаментальная группа Ж1 8, и) состоит из всех преобразований вида у г п г,п Ъ. [c.290] Вернуться к основной статье