ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение С. Вращения окружности, цепные дроби и рациональная аппроксимация из "голоморфная динамика " Рекуррентность отображений является важнейшим предметом исследований во многих разделах динамики. Как часто и насколько близко возвращается орбита в окрестность своей начальной точки В случае иррациональных вращений окружности на этот вопрос удается получить довольно точный ответ, основанный на классической теории чисел. Описание возникающей здесь ситуации оказывается полезным не только в голоморфной динамике, но также и в небесной механике, и других разделах математики, в которых появляется проблема малых знаменателей . [c.271] Нас будет особенно интересовать случай, когда А не является корнем из единицы, то есть когда орбита не содержит периодических точек. На рисунке 40 изображен типичный пример, показывающий несколько первых точек орбиты. Для упрощения рисунка каждая точка Л обозначена на нем через к. [c.272] Рисунок 40 иллюстрирует вращение с близкими возвращениями при 9= 1, 6, 7, (27,. ..). [c.272] В частности, р и взаимно просты, и поэтому каждая дробь Рп/Яп несократима. [c.276] Доказательство основано на следующем утверждении. [c.277] Это можно проверить, положив, например, и = + и разделив а, )-плоскость на четыре квадранта, соответствующих неравенствам а О или а 1, и О или 1. Легко проверить, что каждое из четырех неравенств (С 7) не выполняется в одном из этих квадрантов, и поэтому в совокупности эти неравенства не имеют общего решения. [c.277] Замечание. Приведенное выше доказательство того, что последовательность qn в точности задает времена близких возвращений, зависит от выбора Жо = 11 11 1/2. Число Жд = 1 — Жо будет иметь те же самые времена близких возвращений, но несколько иное разложение в цепную дробь. В самом деле, если О жо 1/2, то построенные для жо и Жд целые числа и q связаны соотношением = qn Для п 1, где q[ = 1. [c.278] Как и в доказательстве леммы 11.7, если Т к), то для каждого е О существует дробь p/q, для которой — p/q /(/ То есть такое число 6 которое принадлежит объединению интервалов общей длины 2е/(/. Для любого q существует в точности q возможностей выбора p/q moaZ), то есть объединение соответствующих интервалов имеет общую длину 2e/q . При к 2 суммирование по всем q дает конечную оценку сверху 2е /q этой общей длины. При е О эта величина стремится к нулю. [c.279] Множество Т 2) диофантовых чисел ограниченного типа имеет меру нуль. [c.279] Чтобы в этом убедиться, рассмотрим в плоскости решетку (дискретную аддитивную подгруппу), натянутую на векторы ( , р) и ( , р ), угловые коэффициенты которых равныp/ ир /q, соответственно. Состоящий из всевозможных линейных комбинаций а р, q) + () р, q ), О а, /3 1 параллелограмм Р образует фундаментальную область этой решетки, то есть его образами при параллельных переносах можно замостить всю плоскость. Площадь этой фундаментальной области Р равна определителю Д, а также равна количеству содержащихся в Р точек с целочисленными координатами (s, г). Значит, внутренность Р содержит точку (s, г) с целыми координатами тогда и только тогда, когда Д 1. Соответствующий этой внутренней точке угловой коэффициент г/s заключен строго между p/q и р /q - Кроме того, заменив в случае необходимости аи/3на1 — аи1 — /3, можно считать, что s q + + )/2 max(g, q ). [c.280] Задача С-2. Покажите, что число ж 6 М Q является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами тогда и только тогда, когда последовательность чисел ах, а2,. .. из его разложения в цепную дробь с некоторого номера оказывается периодической. [c.281] Вернуться к основной статье