ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приложение А. Теоремы классического анализа из "голоморфная динамика " (Неравенство Йенсена). Это среднее значение A f, г) монотонно возрастает с ростом г и является выпуклой вверх функцией аргумента г. Следовательно, A f, г) либо сходится к конечному пределу, либо стремится к бесконечности при r/ l. [c.256] На самом деле, будет доказано более точное утверждение. [c.256] г) как функция от Inr кусочно-линейна с наклоном dA f, r)/dlnr, равным числу корней функции / внутри диска с учетом их кратности. [c.256] Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть К — связное компактное подмножество С, и пусть дополнение С К конформно диффеоморфно дополнению С Ш). [c.258] Теперь, переходя к пределу при г 1, получаем требуемую формулу. [c.258] Замечание. К сожалению, трудно получить какую-либо оценку скорости сходимости этого ряда. Если множество К имеет очень сложную форму, то интуитивно кажется правдоподобным, что члены очень высоких порядков будут сильно влиять на скорость сходимости. [c.259] Рассмотрим теперь конформно изоморфное открытому диску открытое множество С/ С С, содержащее начало координат. [c.259] Замечание. Доказанная де Бранжем гипотеза Бибербаха утверждает, что а и а1 для всех п. Как и выше, равенство справедливо, если С и — замкнутая полупрямая, продолжение которой содержит начало координат, например, если (т]) = г] + 2г] +3т] +. .. = т]/ 1 — т]У. [c.259] Здесь первое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда С С/ — замкнутая полупрямая, продолжение которой содержит начало координат, а второе неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда II — диск с центром в начале координат. [c.260] В частном случае а = 1 открытое множество II = Ш) обязательно содержит диск Ш)1/4 с радиусом 1/4 и центром в начале координат так, что отображение ф 1/4 О корректно определено и однозначно. Левое неравенство было сформулировано и частично доказано Кёбе, и позже полностью доказано Бибербахом. Правое неравенство легко следует из леммы Шварца. [c.260] Согласно теореме Бибербаха, u2 2 и а2 + / о 2, значит 1/zq = = 1/г 4 или г 1/4. Здесь равенство выполняется только при а2 =2 и я2 + 1/ о = 2. Отсюда легко вытекает описание множества U. [c.261] Приведем интересную переформулировку теоремы А.7 об одной четверти. Пусть ds = p z) dz — метрика Пуанкаре на открытом множестве и, и пусть г = r z) — расстояние между точкой 2 и границей множества U. [c.261] Например, если U — верхняя полуплоскость, то метрика Пуанкаре согласована с метрикой dz /r. [c.261] В заверщение приведем задачу, адресованную читателю. [c.261] Вернуться к основной статье