ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гиперболические и субгиперболические отображения из "голоморфная динамика " Напомним, что в теореме 11.17 посткритическим множеством Р функции / назывался набор всех образов ° с) при О, где с пробегает все критические точки отображения /. [c.240] Пусть V — дополнение С Р, и пусть Ш = / (У) С С. Как и в теореме 11.17, заметим, что ] С V, и что / Ш V является сюръективным й-листным накрытием. Кроме того, если исключить тривиальный случай отображения, сопряженного с г 1- то каждая компонента связности V или IV конформно гиперболична. [c.241] Предположим теперь, что Р ]-7 = 0, или, другими словами, J С У. Тогда Ш должно быть строго меньще V. Иначе V отображалось бы посредством / в себя и, следовательно, содержалось бы во множестве Фату. Действительно, любая компонента связности IV, пересекающая J, должна быть строго меньще соответствующей компоненты V. Рассуждая как и при выводе неравенства (11 6), имеем /г у 1 для каждой точки гаШ. (Здесь индекс V указывает на то, что мы используем метрику Пуанкаре, ассоциированную с гиперболической поверхностью V). Динамическая гиперболичность / следует из того, что J С Ш. [c.241] Действительно, если выбрать минимальную геодезическую, соединяющую /(г) с J внутри V, то один из ее (1 прообразов соединит точку г с J, и длина этого прообраза не будет превосходить dist(/(г), J)/f . [c.242] Доказательство будет основано на трех леммах. [c.242] Замечание. В частном случае полиномиального отображения теорема 19.2 вытекает из данного результата, поскольку для полиномиального отображения область притяжения бесконечно удаленной точки является инвариантной компонентой связности множества Фату с границей, совпадающей со всем множеством Жюлиа. [c.243] ТИ С/ = f U). Выберем конформный изоморфизм ф Ш II так, чтобы 0(0) являлось неподвижной притягивающей точкой в С/. Тогда Р = ф ° / ° 0 — собственное голоморфное отображение Ш) в себя такое, что Р 0) = О, и имеющее, в силу теоремы 8.6, по крайней мере одну критическую точку. Согласно лемме Шварца, для любого О г 1 отображение Р переводит диск радиуса г в некоторый диск строго меньщего радиуса. [c.243] В следующей лемме используется сферическая метрика на С. [c.244] Рассуждения сводятся к модифицированию доказательства теоремы 19.1. В одну сторону, если / является растягивающим относительно некоторой орбифолдной метрики, определенной в окрестности множества Жюлиа, то так же, как и в теореме 19.1, найдется окрестность N .7) такая, что каждая орбита из множества Фату с некоторого момента покидает эту окрестность и никогда туда не возвращается. Следовательно, она может сходиться только к притягивающей периодической орбите. С другой стороны, если с — критическая точка из множества Жюлиа, то каждый образ / (с), т О, должен попадать в одну из точек разветвления aj в нащей орбифолдной метрике, так как отображение /° имеет нулевую производную в критической точке с, а также удовлетворяет условию Ц-О/ А,- в точках, произвольно близких к с. Набор точек разветвления в J локально конечен, значит орбита точки с должна поглощаться циклом. [c.248] Условие ( ). Для любого z S индекс разветвления в точке образа i f z)) должен быть кратен произведению n f, z)i z). [c.249] Поскольку / 8) С 8, легко видеть, что поднимается до однозначного голоморфного отображения Р 8 8 - Фактически, именно условие ( ) гарантирует локальное существование такого поднятия отображения / . Ввиду односвязности 8, не существует никаких препятствий к распространению этого поднятия до глобального. [c.250] Конформно евклидов случай. (Ср. 19.9.) Для евклидовой поверхности 8,у наиболее простой способ доказательства состоит в изменении весовой функции г/. Например, если выбрать некоторую периодическую орбиту в 5 и заменить г/ весовой функцией г/, которая равна 2г/ на этой орбите и равна г/ вне нее, тогда условие ( ) будет выполняться и на у/, так как нетривиальное разветвленное накрытие 8 — С над 8 будет гиперболическим. Доказательство — как и выше. [c.250] Как следствие получаем другое доказательство 16.5. [c.251] Таким образом, если 8 онформпо евклидово, то / поднимается до линейного автоморфизма /(и ) = агю +/3 универсальной накрывающей поверхности 5 = С. Кроме того, так как 5 вполне инвариантно относительно /, из леммы 4.6 следует, что дополнение С 5 состоит не более, чем из двух точек. Рассмотрим три имеющихся возможности. [c.252] Случай 0. Если 5 = С, то можно вычислять степень, интегрируя /г по сфере. Действительно, используя (локально евклидову) орбифолдную метрику, заметим, что / отображает произвольную маленькую область с площадью А в область с площадью Интегрируя по 8, мы видим, что степень (1 должна быть равна ар. [c.252] Множество Жюлиа квадратичного многочлена локально связно, если оно связно, не имеет точек Кремера или дисков Зигеля и не является бесконечно ренормируемым. [c.253] Вернуться к основной статье