ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полиномиальная динамика, внешние лучи из "голоморфная динамика " Основное Предположение. Множество Жюлиа J связно, или, что эквивалентно, заполненное множество Жюлиа К связно. [c.220] Если этот предел существует, будем говорить, что луч Rt заканчивается в точке j t), которая с необходимостью принадлежит множеству Жюлиа J = дК. [c.221] В частности, если периодический луч Кг с периодом р 1 заканчивается в точке то эта точка 1) является периодической для отображения /, и ее период является делителем р. [c.223] Фату показал, что большинство лучей заканчивается, а братья Рис показали, что различные углы обычно соответствуют различным концевым точкам лучей. Более точно, применяя теорему 17.4 к области притяжения бесконечной точки 2/(00) С С, мы получаем следующее утверждение. [c.223] Очевидно, что не все лучи являются заканчивающимися. Используя результаты Каратеодори, можно сформулировать точный критерий. [c.223] Определение. Это отображение 7 из M/Z на J будет называться полусопряженностью Каратеодори, ассоциированной с локально связным полиномиальным множеством Жюлиа J. [c.224] Замечание. А priori может случиться так, что каждый внещний луч может заканчиваться даже в том случае, когда К не является локально связным. Таким свойством обладает, например, показанное на рисунке 36 компактное множество симметричный гребень , которое не является заполненным множеством Жюлиа. Оно состоит из отрезков [-1, 1] X с для с = 0,75 и из осей [-1, 1] х 0 и 0 х [-1, 1]. Очевидно, что в таком примере соответствующая зависимость t j t) не может быть непрерывной. [c.224] Приведем еще один результат, который немедленно следует из теоремы Каратеодори 17.14. [c.224] Напомним, что в 11 была дана характеризация точек Кремера как периодических точек, которые принадлежат множеству Жюлиа, но не являются при этом ни отталкивающими, ни параболическими. Это полностью эквивалентно следующему утверждению. [c.225] Если полиномиальное отображение / имеет точку Кремера или цикл дисков Зигеля, границы которых не содержат критических точек, то множество Жюлиа /(/) локально несвязно. [c.225] Примеры точек Кремера были построены в 11, а примеры дисков Зигеля без критических точек на границах были даны Эрманом (1986), ср. также Дуади (1987). Однако автору не известны примеры дисков Зигеля, имеющих периодические точки на границе или не ограниченных простыми замкнутыми кривыми. [c.226] Определение. Внешний луч Rt называется рациональным, если соответствующий угол i M/Z рационален этот луч называется периодическим, если угол t периодичен относительно умножения на степени п, так что n t = i(mod 1) для некоторого р 1. [c.228] Мы по-прежнему будем считать, что заполненное множество Жюлиа К связно, не предполагая при этом его локальную связность. [c.229] Следующее вспомогательное утверждение доказать гораздо проще. [c.229] В параболическом случае эти утверждения могут быть усилены следующим образом. [c.230] Пример 1. Рассмотрим кубическое отображение g г) = г — гг + + 2 , см. рисунок 37. Параболическая неподвижная точка 2 = 0 имеет мультипликатор Л = 1, таким образом, здесь имеется только один отталкивающий лепесток, хотя два различных луча Ко и Л1/2 заканчиваются в этой точке. На рисунке 15 показан аналогичный пример с тремя отталкивающими лепестками и четырьмя неподвижными заканчивающимися лучами. [c.230] В доказательствах всех этих утверждений мы по-прежнему будем обозначать через j t) концевые точки лучей. Однако, поскольку К не обязано быть локально связным, функция j t) не обязана быть всюду определенной или непрерывной. [c.231] Рассмотрим для начала частный случай неподвижного луча Rto = f Rto)- Иными словами, предположим, что to имеет вид j/ n— 1) и io = nio(niodZ). Если луч Щд заканчивается в точке zq, то очевидно, что f zo) = Zq. Пусть X — множество всех углов х, соответствующих лучам Лх, оканчивающимся в Zq. Поскольку / диффеоморфно отображает некоторую окрестность zq на другую окрестность этой точки и сохраняет при этом циклический порядок лучей, которые в ней оканчиваются, то отображение умножения на п биективно переводит X на себя, также сохраняя этот циклический порядок. [c.231] Заметим, что отображение / локально изометрично в метрике Пуанкаре на С К = С Ш). Действительно, универсальное накрытие дополнения С Ш) изоморфно правой полуплоскости w = u+iv и 0 , и этот изоморфизм устанавливается посредством экспоненциального отображения. Здесь вещественная часть и = Re(u ) соответствует функции Грина G на С К. Отображение f на С К соответствует возведению в п-ю степень на С В, что соответствует изометрии в метрике Пуанкаре w nw на правой полуплоскости. Отметим также, что каждый внещний луч соответствует горизонтальной полупрямой v = = onst. Вдоль каждой такой полупрямой длина дуги в метрике Пуанкаре f dw /и вычисляется как f du/и = J din и. [c.232] Доказательство того, что, по крайней мере, один периодический луч заканчивается в отталкивающей или параболической неподвижной точке, основывается на следующих соображениях. Ясно, что достаточно рассмотреть специальный случай неподвижной точки в нуле. Будем предполагать, что О = /(0) является либо отталкивающей, либо параболической точкой. [c.233] Вернуться к основной статье