ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение множества Фату к изучению множества ЖюПростые концы и локальная связность из "голоморфная динамика " Результаты этого параграфа частично получены Фату и Жюлиа, но главным образом получены Сулливаном. [c.194] Под компонентой связности множества Фату нелинейного рационального отображения / будет пониматься любая компонента связности множества Фату С J(/). Очевидно, / переводит каждую компоненту связности множества Фату U на некоторую компоненту связности множества Фату U посредством собственного голоморфного отображения. Рассмотрим для начала частный случай U = U. [c.195] Здесь мы объединяем случаи сверхпритягивающей неподвижной точки с мультипликатором Л = О и геометрически притягивающей неподвижной точки с мультипликатором Л 0. Заметим, что, согласно теореме 8.6 и следствию 10.11, как области непосредственного притяжения, так и параболические области всегда содержат критические точки, в то время как области вращения (т. е. диски Зигеля и кольца Эрмана), очевидно, не содержат критических точек. [c.195] Иными словами, нуль должен быть либо притягивающей неподвижной точкой, либо параболической неподвижной точкой с мультипликатором Л, в точности равным 1. [c.196] По предположению, орбита р(0) р(1) р(2). .. в У 0 сходится к нулю. Следовательно, начало координат не может быть отталкивающей неподвижной точкой, и значит Л 1. Предположим, что Л = 1 и Л 1, и покажем, что эта гипотеза ведет к противоречию. [c.196] Нужно доказать, что с = 0. Предположим для определенности, что постоянная с строго положительна, и покажем, что это приводит к противореча. Выберем постоянную Гх го так, что отображение /(г, в) = (г, в ) удовлетворяет неравенству в 9 - - с/2, как только г Г1. Тогда выберем так, что г 1) и, следовательно, в 1 + + 1) в 1) + с/2, как только I Ьх. Кроме того, выберем в так, что в 1) 01 для 1. Теперь на (г, 0)-плоскости рассмотрим связную область V, лежащую над прямой 9 = 01, справ от прямой г = О и слева от кривой р[11 оо). Отсюда легко следует, что / однозначно отображает V в себя, а также, что при ограничении итераций / на У координата г стремится к нулю. Значит, если ] является образом V при проекции на плоскость переменной г, то Ш — окрестность нуля, и все орбиты в стремятся к началу координат. Следовательно, нуль — притягивающая неподвижная точка, и Л 1. Ниже приведено соверщенно равносильное утверждение, которое будет полезно в 18. Пусть снова / является голоморфным отображением вида /(г) = Хг + +. .. в окрестности нуля. [c.198] Напомним, что мы выще уже обсудили все случаи, кроме (Ь). Следовательно, нужно ограничиться рассмотрением компоненты связности множества Фату, отображающейся в себя посредством / таким образом, что все орбиты стремятся к граничной неподвижной точке Шо. [c.198] В случаях (3) и (4) топологический тип области 17 однозначно определяется этим описанием. Как отмечено в 8.7 и задаче 10-е, в случаях (1) и (2) и должна быть либо односвязной областью, либо областью с бесконечным числом компонент связности. [c.199] Как установлено в 10, существует не более, чем конечное число притягивающих областей и дисков Зигеля. Сулливан показал также, что существует не более, чем конечное число колец Эрмана, и, следовательно, всего существует только конечное число периодических компонент связности множества Фату. (Более точно, согласно Сисикуре, существует не более, чем 2(1 — 2 различных циклов периодических компонент связности множества Фату). [c.199] Для того, чтобы дополнить эту картину, нужна следующая фундаментальная теорема, утверждающая, что не существует блуждающих компонент связности множества Фату. [c.199] Напомним, что в 14 отображение / называлось посткритически конечным, если каждая его критическая орбита конечна. [c.200] 8 будет дано более явное доказательство этого утверждения. (См. также задачу 16-е). [c.200] Задача 16-е. Итерации / . Пусть и С С — связное открытое множество, предположим, что существует гладкая ветвь gk V С отображения / для каждого f 1. Покажите, что gk образуют нормальное семейство. Покажите, что если и содержит точку множества Жюлиа, то нормы первых производных в сферической метрике равномерно стремятся к нулю. (В противном случае, некоторая подпоследовательность gk сходилась бы к некоторому непостоянному пределу % и образ (Е/) содержал бы отталкивающие периодические точки. ..). [c.203] В некоторых случаях ф продолжается до гомеоморфизма замкнутого диска В на замыкание [/. (Ср. рисунки 1а и 33а, а также теорему 17.16.) Однако в общем случае такое продолжение невозможно, поскольку граница ди может оказаться чрезвычайно сложным объектом. Например, на рисунке ЗЗЬ изображена такая область [/, что одна из точек границы ди (имеющей счетное число торчащих наружу щипов ) соответствует канторовому множеству различных точек на окружности дИ. На рисунках 33с, ЗЗё показаны примеры, для которых целые интервалы точек на ди соответствуют одной точке окружности. Здесь мы опищем эффективный анализ взаимосвязей компактного множества ди и граничной окружности 9Ш), который был сделан Каратеодори в 1913 году. [c.204] Для большинства значений у можно дать более точную оценку верхней границы. [c.206] В качестве приложения рассмотрим следующее вложение /2 А [/ С С. [c.207] Перенеся сферическую метрику с i/ на Р, мы получим конформную метрику вида p z) dz на Р. (Ср. (2 4).) Очевидно, что площадь Л квадрата Р в этой метрике не превосходит 4тг — площади сферы С. [c.207] Рассмотрим теперь открытое односвязное множество U сС с бесконечным дополнением и фиксируем некоторый конформный изоморфизм -ф Ш и. [c.207] Мы будем говорить для краткости, что почти каждая кривая г (ге ) в и достигает границу в некоторой точке из dU, и что различные значения в почти всегда соответствуют различным достижимым точкам. [c.207] Замечание. Фату показал в своей диссертации, что любая ограниченная голоморфная функция на В имеет радиальные пределы почти во всех направлениях, независимо от того, однозначна она или нет. [c.207] Вернуться к основной статье