ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Голоморфная формула для числа неподвижных точек рациональных отображений из "голоморфная динамика " Напомним сначала следующий результат. [c.169] Замечание. В специальном случае Л = 1 эти вычисления не проходят. Хотя индекс (/, го) здесь корректно определен и конечен, но формула (12 2) теряет смысл. Ср. задачи 12-а, 12-Ь. [c.171] Более общо, для изолированной неподвижной точки голоморфного отображения Р 3 3 римановой поверхности в себя можно выбрать некоторую локальную координату 2 и вычислить индекс (,(/, го) для ассоциированного локального отображения 2 f г). [c.171] В общем случае неподвижной точки, у которой мультипликатор не равен +1, это немедленно вытекает из леммы 12.2, поскольку мультипликатор очевидным образом от выбора координатной системы не зависит. Доказательство, которое проходит и в случае Л = +1, будет дано в конце параграфа. [c.171] Очевидно, интеграл в левой части этого равенства равен сумме вычетов (/, г ) в различных неподвижных точках отображения /, откуда и следует формула суммирования. [c.172] В заключение этого параграфа мы приведем доказательство леммы 12.3. Для этого нужно установить, что индекс (,(/, го) инвариантен при локальных голоморфных заменах координат ги = ф г). Фактически мы дадим здесь два доказательства — геометрическое и вычислительное. [c.175] Геометрическое доказательство. Положим для удобства го = О и предположим, что существует однопараметрическое семейство отображений / Ш)е — С таких, что / совпадает с /о на диске а отображения ft имеют при i 7 О только простые неподвижные точки. [c.175] Задача 12-с. Каждая неподвижная точка го отображения /, очевидно, является неподвижной точкой и для его итераций /°. Покажите, что если го является притягивающей (или отталкивающей), то .(/°, го) стремится к единице (либо к нулю) при к оо. Покажите, что для неподвижной точки кратности т 2 индекс .(/°, го) стремится к т/2. [c.178] Вернуться к основной статье