ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параболические неподвижные точки. Цветок Ло-Фату из "голоморфная динамика " Под единичным вектором в нуле мы будем понимать комплексное число V, по модулю равное единице, отождествляя его с касательным вектором к гладкой кривой I IV при i = 0. [c.128] Определение. Будем говорить, что единичный вектор V в нуле имеет отталкивающее направление, если а вещественно и положительно, то есть если вектор, выпущенный из в + а ), указывает направление выходящее из нуля. Аналогичным образом, будем говорить, что единичный вектор V в нуле имеет притягивающее направление, если а вещественно и отрицательно. [c.129] Дадим предварительное описание локальной динамики. Рассмотрим некоторую орбиту . .. отображения /, заданного уравнением (10 1). Будем говорить, что эта орбита нетривиально сходится к нулю, если Zk О при /г —оо, но ни один элемент орбиты не обращается в нуль. [c.129] Например, если три выделенные на рисунке 14 сектора имеют достаточно малые радиусы, то из леммы 10.1 следует, что любая орбита, начинающаяся в одном из этих секторов, будет сходиться к нулю внутри этого сектора, и ги/ ги будут сходиться к соответствующему притягивающему единичному вектору. [c.129] Определение. Если орбита г ч- г ч-. .. отображения / сходится к нулю, нги ги сходятся к единичному притягивающему вектору V, будем говорить, что эта орбита гь сходится к нулю в направлении V. [c.129] Существует в точности п различных притягивающих направлений в касательной плоскости к Б в т,очке г, и любая орбита, нетривиально сходящаяся к г, должна приближаться к этому пределу в одном из этих п направлений. [c.130] Областью непосредственного притяжения я/ назовем ту единственную компоненту связности параболической области притяжения sij, которая отображается в себя при отображении f. [c.130] В частности, из (10 2) следует, что Ке(Р(и )) Ке(г/ ) + 1-7], при и Гг,- Предположим, например, что г = 1/2, и выберем у)о в полуплоскости Ке(и о) 1/2- Ясно, что тогда орбита и о - 1 - . .. [c.132] Мы уже знаем из леммы 4.4, что неподвижная точка 2 сама принадлежит множеству Жюлиа. Если орбита го 4. .. в конце концов попадает в г или, иными словами, тривиально сходится к точке г, то го принадлежит множеству Жюлиа. Рассмотрим теперь точку го 6 6 дsij, у которой орбита не сходится к г тривиально. Поскольку го не принадлежит ни одной параболической области притяжения sij, то орбита го 1Ч- 21 1Ч-. .. также не может нетривиально сходиться к г. Следовательно, мы можем выбрать подпоследовательность zk m) , отграниченную от 2 . Поскольку последовательность итераций / сходится к г всюду на открытом множестве sij, то она не может быть нормальной ни в какой окрестности граничной точки г . Далее доказательство очевидно. Предположим теперь, что мультипликатор Л в неподвижной точке является корнем степени q из единицы, скажем, А = eщ 2жip q), где p q — несократимая рациональная дробь. [c.134] Замечание. Если заменить / = /о на близкое отображение f с тем, чтобы немного изменить А, то (п + 1)-кратная неподвижная точка г итерации /° распадется на п + 1 простую неподвижную точку отображения Поскольку 2 является простой неподвижной точкой для /° при к д, то только одна из этих п+1 точек будет неподвижной для ft или для / °. Оставшиеся п точек разобьются на п/д орбит, каждая из которых будет иметь период в точности равный д. [c.136] Аналогичным образом, односвязное открытое множество С N П М будет называться отталкивающим лепестком в направлении V, если 5 является притягивающим лепестком для отображения в этом направлении. [c.136] Мы получим теорему 10.6 как немедленное следствие следующего фундаментального результата, принадлежащего Ло и Фату. Однако можно доказывать эти теоремы и в обратном порядке, ср. задачу 10-с. [c.138] Линеаризирующую координату а г) часто называют координатой Фату в 3 . [c.138] Это следует из того, что отображение ад Р(ад) — ад — 1, ограниченное на диск радиуса адо/2 с центром в у)о, отображается в диск радиуса С/ и о/2 при адо -К- Согласно лемме 1.2, ее производная в точке гио ограничена отнощением этих постоянных. [c.139] С другой стороны, при заменах координат с помощью формальных степенных рядов для функции / существует нормальная форма z z + l n+i /j 2n+i, зависящая всего от одного комплексного параметра (задача 10-d), в то время как для топологических замен координат Камачо показал, что такая нормальная форма имеет вид z z + 2 + . [c.142] Предположим теперь, что / б — б — всюду определенное голоморфное отображение. Хотя притягивающие лепестки в малом ведут себя также, как и отталкивающие, в целом их поведение значительно отличается. [c.143] Для отталкивающих лепестков аналогичное утверждение звучит следующим образом. [c.143] В случае нелинейного рационального отображения / С — С продолженное отображение из следствия 10.9 сюръективно. Однако, оно не является однозначным оно имеет критические точки, если некоторая итерация / о. .. о / имеет критическую точку. Отметим следующий основной результат. [c.144] Задача 10-а. Отталкивающие лепестки и множество Жюлиа. Покажите, что, если f — нелинейная рациональная функция, то каждый отталкивающий лепесток пересекается со множеством Жюлиа функции /. [c.146] Вернуться к основной статье