ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Бётхера и полиномиальная динамика из "голоморфная динамика " Предположим, что существует притягивающая периодическая орбита б, у которой область непосредственного притяжения ие содержит ни одной критической точки. Пусть 17 — маленькая окрестность какой-либо точки р в покажите, что для каждого к 1 нащлась бы единственная ветвь gk и С отображения / которая отображала бы р в в. Покажите, что в этом случае семейство g . было бы нормальным, что невозможно, поскольку первые производные функций g . в точке р должны быть неограниченными. [c.113] Как и в лемме 8.5, мы можем начать с локального отображения ф , обратного к ф, определеного на диске радиуса и удовлетворяющего равенству е(О) = Р, и затем продолжить его аналитически насколько это возможно. Действуя таким образом, мы можем установить следующее утверждение. [c.116] Случай 1. Отображение Бётхера продолжается до конформного изоморфизма из на открытый единичный диск В, относительно которого f сопряжено отображению возведения в п-ю степень на В. В этом случае /, очевидно, не имеет в критических точек, отличных от р. [c.116] Случай 2. В противном случае, существует максимальное число О г 1 такое, что локальное обращение В — г/д продолжается до конформного изоморфизма ф открытого диска радиуса г на открытое подмножество II = ф Вг) С Б этом случае замыкание и является компактным подмножеством в в о, и граница ди С в о содержит, по крайней мере, одну критическую точку функции /. [c.116] рисунок 9, который иллюстрирует случай 1 и рисунок 10, который иллюстрирует случай 2. [c.116] Предостережение. Из рассмотрения рисунков 9 и 10 по аналогии с леммой 8.5 можно ожидать, что ф всегда продолжается до гомеоморфизма замыкания II и замкнутого диска однако это не так. Ср. рисунки 11 и 12 ниже. [c.118] Определим заполненное множество Жюлиа K(f) как множество всех таких г 6 С, у которых орбиты относительно / ограничены. [c.119] Более того, граница дП этого открытого множества II = Ф(С г) является компактным подмножеством в С К, содержащим, по крайней мере, одну критическую точку /. [c.123] Мы покажем, что замыкание V разделяет плоскость на два или более ограниченных открытых множества, каждое из которых содержит несчетное количество точек множества Жюлиа. Пусть с д11 — критическая точка. Тогда соответствующее критическое значение V = /(с), очевидно, принадлежит II и Ф( ) = г. Рассмотрим бесконечный луч К сС г состоящий из точек вида I Ф(г ) при i 1. Образ Е = = Ф(Д) С и называется внешним лучом точки V, ассоциированным с компактным множеством К С С. [c.124] Как и в 9.2, функция z Ф(г) непрерывно продолжается на всю область притяжения С К и принимает значения Ф(г ) 1. (Эта функция имеет конечные значения, поскольку на конечной части плоскости полиномы не имеют полюсов.) На практике обычно удобнее работать с логарифмом этой функции. [c.125] Задача 9-с. Клеточные множества и формула Римана—Гурвица. Изложим другой план доказательства теоремы 9.5. Пусть, как и раньше, f — многочлен степени п 2. Для каждого числа О обозначим через Vg ограниченное открытое множество, состоящее из всех комплексных чисел г таких, что g. Используя принцип максимума модуля, покажите, что каждая компонента связности Vg односвязна. Следовательно, эйлерова характеристика х(У ) совпадает с количеством компонент связности Vg. Покажите, что каждая компонента связности Vg пересекает заполненное множество Жюлиа. [c.127] Из формулы Римана-Гурвица (7.2) для отображения f Vg Vng следует, что nxiУng) x(Уg) равно числу критических точек функции / на Vg, подсчитанных с их кратностями. Поскольку Vg, очевидно, связно для достаточно больших g, выведите, что Vg связно тогда и только тогда, когда оно содержит все п — 1 критические точки функции /. [c.127] Задача 9-с1. Квадратичные многочлены. Предположим, что критическая орбита многочлена /(г) = + с убегает на бесконечность. Пусть V = Ус(с) — открытое множество, состоящее из всех таких г е С, для которых Ф(г ) Ф(с) . Покажите, что V конформно изоморфно , и что / (У) имеет две компоненты связности. Выведите отсюда, что у имеет две голоморфные ветви gQ н gl, отображающие V в непересекающиеся открытые подмножества, каждое из которых имеет компактное замыкание в V. Покажите, что каждое gj является строго сжимающим в метрике Пуанкаре на V. Рассуждая как в задаче 4-е, покажите, что 7 является канторовым множеством и канонически гомеоморфно пространству всех бесконечных последовательностей ( 0, 31, 32, ) нулей и единиц. [c.128] Вернуться к основной статье