ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрически притягивающие и отталкивающие неподвижные точки из "голоморфная динамика " Определение. Неподвижная точка р отображения / называется топологически притягивающей, если она имеет такую окрестность 11, что все последовательные итерации /° определены всюду иа II, и последовательность /° равномерно сходится к постоянному отображению и р. [c.97] При п 00 эта последовательность равномерно сходится к нулю, что и требовалось. [c.98] Определение. Притягивающая неподвижная точка будет называться суперпритягивающей или, соответственно, геометрически притягивающей, если ее мультипликатор равен нулю, соответственно, удовлетворяет условию О Л 1. [c.98] Доказательство существования при Л 1. [c.99] В этом случае утверждение получается немедленно применением предыдущих рассуждений к отображению / , которое определяется в некоторой окрестности нуля, как однозначная голоморфная функция, имеющая мультипликатор, удовлетворяющий условиям О Л Ч 1. [c.100] Рассмотрим на момент притягивающий случай О Л 1. Мы можем переформулировать теорему 8.2 в более общем виде следующим образом. Предположим, что / S S — голоморфное отображение римановой поверхности в себя с притягивающей неподвижной точкой р = = f p), мультипликатор которой не равен нулю. Напомним, что в 4 мы определили область притяжения sa = sa(р) С S как множество, состоящее из таких p(zS, для которых lim f° p) существует и равен р. [c.101] На самом деле, для нахождения ф ро) в произвольной точке pa si надо перебирать последовательные точки ее орбиты до тех пор, пока мы не попадем в некоторую точку pk, которая достаточно близка к р. Далее надо вычислить координату Кёнигса ф ри) и умножить ее на Л . Или же в терминах локальной униформизующей координаты z такой, что zip) = о, мы можем просто положить ф(ро) = lim z(f° (po))/X . [c.101] Попытаемся аналитически продолжить ф вдоль радиальных линий, выходящих из нуля. Однако, это невозможно сделать неограниченно в любом направлении, иначе мы смогли бы построить голоморфное отображение ф всей комплексной плоскости на открытое множество ф ,) С 2/0 С С такое, что ф ф и))) = w. Это было бы возможно только в том случае, когда дополнение С ф С) состояло бы из единственной точки. Но отображение / взаимно однозначно, и отсюда следовала бы и глобальная взаимная однозначность /, а это противоречит предположению о том, что / имеет степень 2. [c.102] Заметим, что замыкание II С С должно содержаться в области притяжения я/. Действительно, поскольку образ диска при умножении на мультипликатор Л содержится в компактном подмножестве С В , то образ f U) содержится в соответствующем компактном подмножестве К си. Яз непрерывности следует, что / 11) С К С II С и поэтому С 2/. В частности, отсюда вытекает корректность определения ф и ее голоморфность всюду в окрестности замыкания II. [c.103] Следующий фундаментальный результат принадлежит Фату и Жюлиа. [c.104] Если / — рациональное отображение степени (1 2, то область непосредственного притяжения любой притягивающей орбиты содержит по крайней мере одну критическую точку. Поэтому количество притягивающих периодических орбит конечно и не превосходит количества критических точек. [c.104] В случае геометрически притягивающей неподвижной точки первая часть теоремы немедленно вытекает из леммы 8.5, в то время как суперпритягивающая неподвижная точка, по определению, сама является критической точкой в области своего притяжения, что и требовалось. Рассмотрим теперь притягивающую орбиту zj периода т такую, что f zj) = Zj i, где индексы j берутся по модулю то. Очевидно, что f .sio zj)) С aeo(zj+i). Если ни одна из областей. sio zj) не содержит критических точек, то, согласно цепному правилу, то-кратная композиция отображения /, переводящая каждое -i oizj) в себя, также не будет иметь критических точек, что невозможно. [c.105] В отличие от рассматриваемого нами одномерного случая, Ньюхауз показал, что полиномиальный автоморфизм пространства (или Е ) может на самом деле иметь бесконечно много периодических аттракторов. В этом случае критических точек, очевидно, нет. [c.105] Выберем маленький открытый диск ТУо с центром в притягивающей точке г такой, что /(Л о) С ТУо и что граница 97Уо является простой замкнутой кривой, несодержащей образов критических точек при итерациях отображения /. Пусть ТУ/. — компонента связности / (7Уо) содержащая ТУо- Следовательно, объединение множеств N0 С N1 С N2 С. .. совпадает с Д). Действительно, любую точку из я/о можно соединить с г путем Р С я/о- Выбирая к так, чтобы /° (Р) С N0, можно показать по индукции, что /°( - )(Р) с Nj, и, следовательно, Р С N1-. Очевидно, что каждый ТУ/, ограничен некоторым конечным числом простых замкнутых кривых. [c.106] Случай 1. Если каждый ТУ/, ограничен одной простой замкнутой кривой, то С ТУ/г СВЯЗНО, И С Д), будучи пересечением последовательности вложенных множеств, само является связным. [c.106] Для наших целей можно было бы определить отталкивающую неподвижную точку просто, как точку, в которой мультипликатор удовлетворяет условию Л 1. Однако, здесь удобее иметь топологически инвариантную харакеризацию. [c.107] Определение. Неподвижная точка р = f p) непрерывного отображения называется топологически отталкивающей, если существует окрестность U точки р такая, что для каждой точки р ф рв11 найдется такое п 1, что образ f° p) лежит вне области U. Иными словами, единственной бесконечной орбитой Ро Pi Р2 , которая целиком содержится в U, должна быть орбита неподвижной точки. Такое множество и называется изолирующей окрестностью точки р. [c.107] Замечание. Леммы 8.1 и 8.8 имеют место только для комплексных чисел. Для вещественных чисел такие примеры, как /(ж) = х х показывают, что неподвижная точка с мультипликатором Л = 1 может быть как топологически притягивающей, так и топологически отталкивающей. [c.108] Вернуться к основной статье