ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамика на гиперболических поверхностях из "голоморфная динамика " В этом параграфе мы начнем рассмотрение динамики на римановых поверхностях, отличных от римановой сферы. Оказывается, что возможности динамики на гиперболических поверхностях очень ограничены. Прежде всего, напомним определение, подчеркнув, что гиперболическая риманова поверхность 8 может быть и некомпактной. [c.74] Доказательство немедленно следует из теоремы 5.2, поскольку II, очевидно, гиперболична и отображается при / на себя. (Ни одна из итераций не является тождественным отображением, поскольку f имеет степень 1 2.) Существование нелинейного рационального отображения, которое имеет такую область вращения 11, в высщей степени нетривиально и будет обсуждаться в 11. [c.76] В специальном случае, когда 8 является открытым единичным диском В, имеет место следующее более точное утверждение, доказанное Данжуа в 1926 году и улучшающее более ранний результат Вольфа. [c.76] На самом деле, теорема 5.4 не будет особенно полезной для наших целей, поскольку она окажется несправедливой, если заменить В или Ш1 на любое гиперболическое открытое подмножество в С. (См. задачу 5-а.) Однако здесь можно сформулировать следующее полезное утверждение. [c.77] Эта сходимость равномерна на компактных подмножествах в U. [c.77] Доказательство следует ниже. [c.77] Таким образом, все орбиты стремятся к бесконечности в S, и эта расходимость равномерна на компактных подмножествах в S. [c.77] В противном случае, если dist(p , ро) не стремится к бесконечности, можно найти бесконечно много точек Рп внутри некоторой ограниченной окрестности точки pq. Они должны иметь точку накопления е S. Выберем последовательность целых чисел п(1) п(2) . .. так. [c.77] Для завершения доказательства теоремы 5.2 нам надо установить следующее утверждение. [c.79] Прежде всего заметим, что f должно быть взаимно-однозначным. Действительно, если /(р) = /(д) при р ф д, то любой предел итераций / также будет отображать точки р и д в одну точку, значит такой предел не может быть тождественным отображением. Аналогично, / должно быть сюръективным. Предположим противное, пусть 3) — собственное подмножество в 5 , и р 1 3). Если В — замкнутая круговая окрестность точки р, то любое отображение g достаточно близкое к тождественному отображению 3 отображает В во множество g B), содержащее р, и поэтому такое отображение не может быть итерацией отображения f. Из этих двух утверждений следует, что f должно быть конформным автоморфизмом поверхности 3. [c.79] Доказательство теоремы 5.4 Данжуа-Вольфа. [c.81] Пусть и — гиперболическое открытое подмножество на римановой поверхности S. Предположим, что f U U непрерывно на компактном множестве U и голоморфно отображает U в себя, предположим также, что некоторая орбита ро pi Р2 Ч-. .. в [/ не имеет точек накопления в U. Значит, расстояние Пуанкаре distj7(po, Рп) стремится к бесконечности при п оо. Выберем некоторый непрерывный путь р [О, 1] — [/ из точки ро = р(0) в f po) = р(1) и продолжим этот путь индуктивно для всех i О, полагая p(i +1) = f p t j). Пусть S диаметр образа р[0, 1] в метрике Пуанкаре на U. Тогда диаметр каждого последующего образа р[п, П+ 1] также S. Следовательно, distf/(po p t)) также стремится к бесконечности, при t оо. [c.82] Вернуться к основной статье