ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фату и Жюлиа динамика на римановой сфере из "голоморфная динамика " Классическим примером, на котором мы остановимся подробнее, является случай рилиповой сферы S = С = С U оо. Любое голоморфное отображение f С С римановой сферы можно задать с помощью рациональной функции, то есть как отношение f z) = p z)/q z) двух многочленов. Здесь естественно предполагать, что p z) и q z) не имеют общих корней. Тогда степенью d функции f = p/q назовем максимальную из степеней таких многочленов р и q. При любом выборе постоянной с е 7 (за исключением конечного числа возможностей) эта степень может быть описана как число различных решений уравнения f(z) = = с. Обычно мы будем предполагать, что d 2, заведомо подразумевая, что d 1 то есть в дальнейшем f всегда будет непостоянным отображением С в себя. [c.56] В качестве простого примера рассмотрим отображение возведения в квадрат з z i- - на . Весь открытый диск Р целиком содержится во множестве Фату этого отображения s, т. к. последовательные итерации s па любом компактном подмножестве равномерно сходятся к нулю. Аналогично, дополнение С Р содержится во множестве Фату, т. к. итерации s сходятся к постоянной функции z i- - оо вне Р. С другой стороны, если zq принадлежит единичной окружности, то в любой окрестности zq любой предел итераций должен обязятельпо иметь разрыв первого рода при пересечении единичной окружности. Это показывает, что множество Жюлиа J(s) является в точности единичной окружностью. [c.56] Такие гладкие множества Жюлиа являются редкостью. (Ср. 7.). [c.56] Схема доказательства. Как и выше, мы можем эквивалентным образом рассматривать вместо J его дополнение Га1ои(/) = 3 J. Например, предположим, что 2 Га1ои(/ о /). Это означает, что для некоторой окрестности II точки 2 последовательность всех четных итераций содержится в компактном подмножестве К С Но1(С/, 3). Значит, каждая итерация отображения /, ограниченная на II, принадлежит компактному множеству К и /о К) С Но1(С/, 3), следовательно. [c.59] Предостережение. В специальном случае, когда бесконечная точка является периодической относительно рационального отображения, /° (оо) = 00, это определение может быть некорректным. Мультипликатор А не равен пределу при г оо производных итерации / (г), но оказывается равным обратной величине этого предела (задача 4-е.) Например, если /(г) = 2г, то оо является притягивающей неподвижной точкой с мультипликатором А = 1/2, в то время как для полиномиального отображения / степени (1 2 бесконечная точка является суперпритягивающей неподвижной точкой и А = 0. [c.61] Каждая притягивающая периодическая орбита содержится во множестве Фату отображения /. В действительности, для притягивающей периодической орбиты во множестве Фату содержится вся область притяжения вй. Однако каждая отталкивающая периодическая орбита содержится во множестве Жюлиа. [c.62] Определение. Периодическая точка = /° ( о) называется параболической, если ее мультипликатор А в точке го равен -1-1, а само отображение /° тождественным не является, или, более общо, если А является корнем из единицы, никакая итерация / не является тождественным отображениям. [c.62] Например, обе неподвижные точки рационального отображения /(г) = х х — 1) имеют мультипликаторы, равные —1. Однако, эти точки не являются параболическими, поскольку /о/(г) тождественно равно г. [c.62] Мы исключаем такие случаи с тем, чтобы следующее утверждение было справедливым. [c.62] В оставшейся части 4 мы будем рассматривать рациональные ото-бра кения / С — С степени (1 2. [c.63] Другое, более конструктивное доказательство этой леммы будет дано в 12.5. [c.63] Также нам понадобится следующее понятие. [c.63] Для формулировки заключительного следствия нам потребуются несколько определений. Топологическое пространство X называется пространством Бэра, если каждое счетное пересечение плотных подмножеств X плотно в X. Мы применим теорему Бэра, в которой утверждается, что каждое полное метрическое пространство, а также каждое локально-компактное пространство являются пространствами Бэра (Ср. задачу 4-j). Из соображений удобства будем говорить, что свойство точек пространства Бэра справедливо для точек общего положения х Х, если это справедливо для всех точек в некотором счетном пересечении плотных открытых подмножеств X. Мы будем использовать это понятие при изучении топологического пространства J(/). [c.69] Жюлиа J( ) либо пусто, либо состоит из единственной отталкивающей или параболической неподвижной точки. [c.70] Например, если Р — полином степени (1, то N — рациональная функция степени (I. Начиная с любого нулевого приближения о, можно образовать последующие образы = N zk) Эта последовательность будет стремиться к 2 — к искомому решению уравнения Р г) = 0. [c.72] Задача 4-1. Компоненты Фату. Покажите, что если И — компонента связности множества Фату функции /, то /(О) — также компонента связности множества Га1ои(/). [c.73] Отображение X X называется топологически транзитивным, если для любой пары непустых открытых подмножеств II, V существует целое п О такое, что /° (С/)П непусто. (Ср. 4.7.) Покажите, что если это условие выполнено, и существует счетная база открытых подмножеств локально-компактного пространства X, то орбита общего положения отображения f плотна (ср. 4.13). [c.74] Вернуться к основной статье